Вывод формулы. Теплоёмкость идеального газа

Для одного моля идеального газа справедливо соотношение

где R - универсальная газовая постоянная.

Очевидно, уравнение Майера показывает, что различие теплоемкостей газа равно работе, совершаемой одним молем идеального газа при изменении его температуры на 1 К, и разъясняет смысл универсальной газовой постоянной R - механический эквивалент теплоты.

В произвольном случае последнее уравнение принимает вид

Пример решения задачи

Дано : определить показатель адиабаты воздуха у. Считать воздух двухатомным газом.

Решение. Показатель адиабаты определим как отношение С учетом уравнения Майера для одного моля можно записать

Подстановка (2) в (1) дает

Подставив i = 2, получим, что для воздуха у = 1,4. Заметим, если считать, что число степеней свободы газа может меняться от 3 до б, то показатель адиабаты у может меняться в пределах от 1,33 до 1,67.

Первое начало термодинамики. Количество теплоты, сообщенное термодинамической системе (Q), расходуется на изменение ее внутренней энергии U и совершение газом работы (А)

Последнее утверждение есть ни что иное, как закон сохранения энергии. Вес три величины, входящие в уравнение (4.4), суть энергия, единицы измерения всех трех величин - джоуль.

Стоит обратить отдельное внимание на обозначения: 5 - знак дифференциала, d - знак полного дифференциала. Внутренняя энергия (U ), в отличие от теплоты (Q) и работы (Л), является функцией состояния любых двух параметров из трех возможных (/;, V, Т): U = U(p, Г), U = U(p, V ), U = = U(T y V). Следовательно, можно записать, например

Внутренняя энергия идеального газа определяется соотношением

Второе начало термодинамики. Есть две формулировки второго начала термод и нам и ки.

Формулировка Клаузиуса. Невозможен такой процесс, единственным результатом которого был бы переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому.

Смысл второго начала термодинамики в формулировке Клаузиуса в том, что теплота не может самопроизвольно передаваться от холодного тела к горячему, без каких-либо изменений в окружающей среде, без внешнего воздействия. Это кажется вполне очевидным. Действительно, если мы опустим горячий камень в холодную воду, то камень начнет охлаждаться, а вода - нагреваться, а не наоборот. Сейчас мы вкладывали в термин «теплота» смысл температуры. Но попробуйте вложить в «теплоту» ее настоящий смысл - энергию - и верность второго начала станет отнюдь не столь очевидной. Разве не может энергия передаваться от менее «энергичного» объекта к более «энергичному»? На этот вопрос ответ будет чуть позже.

Формулировка Томсона. Невозможен такой процесс, единственным результатом которого является отнятие у тела теплоты и превращение ее полностью в работу.

Почему? Хотя бы потому, что это противоречит первому началу термодинамики (4.4). Если был бы возможен процесс отнятия теплоты и полное преобразование ее в работу, то из (4.4) следовало бы, что SQ = 5Л, а изменение внутренней энергии равно нулю, т.е. clU = (jn/)C v dT= 0. Но последнее должно означать, что температура тела при отнятии у него теплоты не меняется, а это противоречит здравому смыслу.

Таким образом, второе начало термодинамики в формулировке Томсона верно. Следовательно, и формулировка Клаузиуса также верна, поскольку, если теплоту нельзя полностью преобразовать в работу (так как будут потери на изменение внутренней энергии), то нельзя и полностью забрать тепло (из-за тех же потерь на изменение внутренней энергии).

Следствием второго начала термодинамики является утверждение о невозможности вечного двигателя II рода (т.е. двигателя, основанного на преобразовании тепла в работу). Иногда говорят, что утверждение о невозможности вечного двигателя II рода есть еще одна эквивалентная формулировка второго начала термодинамики. Если теплоту нельзя полностью преобразовать в работу, следовательно, всегда будут иметь место потери на внутреннюю энергию и, следовательно, вечный двигатель невозможен.

Прежде, чем перейти к формулировке третьего начала термодинамики, разберем такое понятие, как энтропия.

Энтропия. Данный термин используется во многих областях знаний, однако мы будем называть энтропией меру беспорядка системы, хаоса, меру вероятности конкретного макроскопического состояния системы. Энтропия остается постоянной при обратимых процессах, тогда как в необратимых - ее изменение всегда положительно

где dS - приращение энтропии; 5Q - минимальная теплота, подведенная к системе; Т - абсолютная температура процесса. Другими словами, энтропия есть физическая величина, пропорциональная вероятности определенного термодинамического состояния системы, или

где k - постоянная Больцмана; Q - термодинамическая вероятность состояния системы (статистический вес). В ходе необратимого процесса энтропия всегда возрастает.

Пример решения задачи

Дано: определить изменение энтропии AS, происходящее при превращении льда массой т, взятого при температуре?, t 2 > 0°С. Решение. Изменение энтропии определим при помощи выражения

Результирующая энтропия процесса превращения льда в пар состоит из четырех слагаемых

где dS^ - энтропия нагрева льда до температуры плавления (0°С); dS 2 - энтропия плавления льда при температуре плавления (0°С); с/5 3 - энтропия нагрева воды до температуры испарения (100°С); dS A - энтропия нагрева пара до температуры t 2 .

После интегрирования получим

где С л, С п - удельные теплоемкости льда и воды соответственно; X, г- удельные теплоты плавления и парообразования соответственно; Т ]} Т 2 , Т 0 , Т т - начальная, конечная температуры, температуры плавления и испарения соответственно (в Кельвинах).

Третье начало термодинамики (теорема Нернста). При температуре, стремящейся к абсолютному нулю, энтропия также стремится к нулю

Смысл последней записи довольно прост: вероятность того, что при абсолютном нуле температур термодинамическая система будет находиться в равновесном состоянии, стремится к нулю.

Поместим в одинаковые цилиндры по 1 кг одного и того же газа с одинаковыми параметрами и попытаемся нагреть этот газ до одной и той же температуры Т . В первом цилиндре поршень приварен к стенкам, а во втором – не встречает сопротивления при движении.

Для этого нужно подвести тепло, в первом цилиндре q v , а во втором – q p . При этом q v =с v (T 2 - T 1 ), q p =с p (T 2 - T 1 ).

Очевидно, что q p > q v , так как во втором случае теплота будет расходоваться не только на нагрев газа, но и на совершение работы (рис.6).

В данном случае

(см. рис.4). В свою очередь, так как p v= RT ,

Отсюда получим закон Майера:

с p -с v = R . (37)

В теплотехнических расчетах применяется отношение с p /с v =к, которое называется показателем адиабаты. Т.к. с p > с v , то к>1 .

С удовлетворительной инженерной точностью применительно ко всем двухатомным газам и воздуху можно считать с p и с v постоянными и равными:

с p = 1,004 кДж/кг град; с v = 0,716 кДж/кг град.

Тогда к =

3.3 Первый закон термодинамики

Согласно закону сохранения и превращения энергии, последняя не может быть ни создана, ни уничтожена, а может быть только преобразована из одного вида в другой при различных физических и химических процессах.

Исторически для измерения отдельных видов энергии принимались различные единицы – калории, кгм, джоули, кВт·ч, л.с.· ч и т.д. В связи с этим превращение энергии происходит не в численно равных, а в эквивалентных отношениях. Из физики известен тепловой эквивалент единицы работы: 1 кгм = 1/427 ккал.

Известны также следующие соотношения: 1 л.с.· ч = 632,3 ккал = 0,735 кВт ч; 1 кВт ч = 860 ккал.

Раньше нами было отмечено, что I закон является частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения энергии применительно к процессам, протекающим в термодинамических системах. В общем случае I закон можно сформулировать следующим образом: “Полная энергия изолированной термодинамической системы при любых происходящих в системе процессах остается неизменной”.

Лишь через 100 лет после выводов Ломоносова, после его общей формулировки закона сохранения энергии, в 1842 г. Роберт Майер на основании опытов установил прямую пропорциональность между затраченной теплотой Q и полученной работой L и определил количественное соотношение между ними (если Q и L выражены в Дж):

Q = L . (38)

Раз теплота затрачена – она исчезла, в результате этого получена работа и наоборот. Т.е. применительно к тепловым и механическим явлениям первый закон может быть сформулирован следующим образом:

“Когда исчезает определенное количество тепловой энергии, возникает эквивалентное количество механической энергии (в виде совершенной работы) и наоборот”.

Утверждение первого закона способствовало прекращению попыток построить двигатель, вырабатывающий механическую энергию без потребления какого-либо другого вида энергии (например, выделяющейся при горении топлива) – «perpetuum mobile первого рода».

Уравнение первого закона в данном виде недостаточно полно характеризует баланс энергии в процессах изменения состояния газа. Эти процессы обычно протекают при теплообмене с газом, поэтому рассмотрим составляющие этого теплообмена.

Пусть в цилиндре с подвижным поршнем к 1 кг газа подводится бесконечно малое количество тепла dq . В этом случае увеличится кинетическая энергия поступательного движения молекул, вследствие чего газ совершит работу (выраженную перемещением поршня)

. Кроме этого, изменятся все виды энергии, присущие состоянию молекул – т.е. изменится внутренняя энергия газа. Таким образом, теплота расходуется на изменение внутренней энергии и совершение работы

dq = du + d

Из описания работы тепловых двигателей видно, что в термодинамике рассматривают две резко различающиеся группы физических изменений газа. В поршневых двигателях движение газа не значительно и им можно пренебречь.

В ротативных тепловых двигателях (например, паровая турбина) изменение состояния газа сопровождается интенсивным (с большой скоростью W) движением рабочего тела. Для этого случая первый закон термодинамики запишется в виде

(Например, в ДВС W 1 = 0,1 м/сек, W 2 = 10 м/сек, в ПТУ W 1 = 0,1 м/сек W 2 = 1000 м/сек).

Уравнение Майера связывает теплоемкости идеального газа в двух изопроцессах, тогда перейдем к самому его определению.

Теплоемкость. Уравнение Майера

Определение 1

Переданное телу количество теплоты для его нагревания на 1 К получило название теплоемкости тела данной системы. Обозначение принимается буквой " С " :

С = δ Q d T (1) .

Значение теплоемкости единицы молярной массы тела:

c μ = C v (2) . Выражение называется молярной теплоемкостью.

Теплоемкость не считается функцией состояния, так как является характеристикой бесконечно близких состояний системы или выражается в качестве функции бесконечно малого процесса, совершаемого в системе. В количественном выражении это означает, что из (1) , применяя первое начало термодинамики, дифференциальная форма получится:

C = δ Q d T = d U + p d V d T (3) .

Уравнение Майера для идеального газа

Определение термодинамической системы производится при помощи трех параметров p , V , T . Существующее между ними отношение получило название уравнения состояния. Для идеального газа используется уравнение Менделеева-Клапейрона. Данная связь запишется в виде:

p = p (T , V) или T = T (p , V) , V = V (p , T) .

При выборе независимых переменных в качестве V и T внутренняя энергия системы выражается в виде функции U = U (T , V) . Получим, что значение полного дифференциала от внутренней энергии примет вид:

d U = ∂ U ∂ T V d T + ∂ U ∂ V T d V (4) .

Произведем подстановку из (4) в (3) , тогда

c = ∂ U ∂ T V d T + ∂ U ∂ V T d V + p d V d T = ∂ U ∂ T V + p + ∂ U ∂ V T d V d T (5) .

Исходя из формулы (5) , теплоемкость находится в зависимости от процесса. Если он изохорный, то

Значение теплоемкости изохорного процесса запишется как:

C V = ∂ U ∂ T V (6) .

При изобарном теплоемкость выражается через формулу:

C p = ∂ U ∂ T V + p + ∂ U ∂ V T ∂ V ∂ T p = C V + p + ∂ U ∂ V T ∂ V ∂ T p (7) .

Перейдем к рассмотрению исследуемой системе идеального газа. Запись малого приращения энергии идеального газа:

d U = i 2 v R d T (8) .

Отсюда следует:

d U d V T = 0 (9) .

Состояние идеального газа описывается при помощи уравнения Менделеева-Клапейрона:

p V = v R t (10) .

∂ V ∂ T p = v R p (11) .

Произведем подстановку в (7) из (10) и (11) :

C p = C V + p + 0 v R p = C V + v R (12) .

Выражение (12) называют выведенным соотношением Майера.

Или для молярных теплоемкостей:

C μ p = C μ V + R (13) .

Пример 1

Найти удельную теплоемкость смеси 16 г кислорода и 10 г гелия в процессе с постоянным давлением.

Решение

Если Q считается количеством тепла, получаемым смесью газов в процессе, то

Q = c p m ∆ T (1 . 1) , где m является массой смеси, c p – удельной теплоемкостью смеси при неизменном давлении.

Q O 2 - это количество тепла, получаемое кислородом:

Q O 2 = c p O 2 m O 2 ∆ T (1 . 2) , m O 2 выражается массой кислорода, c p O 2 – теплоемкостью кислорода с постоянным давлением.

Для гелия аналогично:

Q H e = c p H e m H e ∆ T (1 . 3) .

Кроме этого рассмотрим:

Q = c p m ∆ T = Q O 2 + Q H e = c p O 2 m O 2 ∆ T + c p H e m H e ∆ T (1 . 4) .

Нахождение массы смеси производится по закону сохранения массы:

m = m O 2 + m H e (1 . 5) .

Произведем выражение теплоемкости c p из (1 . 4) , учитывая (1 . 5) . Тогда имеем:

c p = c p O 2 m O 2 + c p H e m H e m O 2 + m H e (1 . 6) .

Существует связь между молярной теплоемкостью и удельной:

c μ = c · μ → c = c μ μ (1 . 7) .

Если c μ V = i 2 R , то по уравнению Роберта Майера c μ p = c μ V + R:

c μ p = i + 2 2 R (1 . 8) ; i H e = 3 , i O 2 = 5 .

В данном случае удельные теплоемкости запишутся как:

c p H e = 5 2 R μ H e , c p O 2 = 7 R 2 μ O 2 (1 . 9) .

Результатом будет записанная формула удельной теплоемкости смеси:

c p = 7 R 2 μ O 2 m O 2 + 5 2 R μ H e m H e m O 2 + m H e (1 . 10) .

Выполним подстановку:

c p = 3 , 5 · 8 , 31 · 16 32 + 2 , 5 · 8 , 31 · 10 4 26 = 14 , 5 + 51 , 94 26 = 2 , 56 Д ж г К.

Ответ: удельная теплоемкость смеси равняется 2 , 56 Д ж г К.

Пример 2

При проведении опытов Джоулем было получено, что с μ p - c μ V = 1 , 986 к а л К · м о л ь. Значение газовой постоянной, измеренной в механических единицах R = 8 , 314 · 10 7 э р г К · м о л ь. Определите, как соотносятся 1 к а л, э р г, Д ж.

Решение

Основой решения данного задания принято считать уравнение Майера, формула записывается:

с μ p = c μ V + R → c μ p - c μ V = R (2 . 1) .

Отсюда получим, что:

c μ p - c μ V = 1 , 986 к а л К · м о л ь = 8 , 314 · 10 7 э р г К · м о л ь → 1 к а л = 4 , 18 · 10 7 э р г = 4 , 18 Д ж.

Ответ: 1 к а л = 4 , 18 · 10 7 э р г = 4 , 18 Д ж.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

,

где - универсальная газовая постоянная , - молярная теплоемкость при постоянном давлении, - молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики , примененного к изобарическому процессу в идеальном газе:

в рассматриваемом случае:

Очевидно, уравнение Майера показывает, что различие теплоемкостей газа равно работе, совершаемой одним молем идеального газа при изменении его температуры на 1 , и разъясняет смысл универсальной газовой постоянной R - механический эквивалент теплоты.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Формула Майера" в других словарях:

Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера: , где универсальная газовая постоянная, молярная теплоёмкость при постоянном давлении, молярная теплоёмкость при постоянном объёме. Уравнение Майера вытекает из… … Википедия

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Майер. Юлиус Роберт фон Майер нем. Julius Robert von Mayer … Википедия

Фон Майер, Юлиус Роберт В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Майер. Роберт Майер Юлиус Роберт фон Майер (нем. Julius Robert von Mayer; … Википедия

ОБЛИТЕРАЦИЯ - (лат. obliteratio уничтожение), термин, употребляемый для обозначений закрытия, уничтожения той или иной полости или просвета посредством разрастания^ ткани, идущего со стороны стенок данного полостного образования. Указанное разрастание чаще… … Большая медицинская энциклопедия

Сущность ее может быть выражена в немногих словах. Согласно этой теории, газы состоят из огромного числа отдельных весьма малых частиц, двигающихся по всем возможным направлениям и со всеми возможными скоростями; частицы эти связаны между собой… …

Эта статья о веществе; о лекарственном средстве см.: Морфин (лекарственное средство). Запрос «Морфий» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Морфин … Википедия

Тела, характеризующиеся стремлением наполнять любое пространство и лишенные собственной формы. Учение о Г. представляет блестящую страницу современного естествознания. Казавшаяся некогда неуловимой форма тела, по понятиям древних занимавшего… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Характеризующиеся стремлением наполнять любое пространство и лишенные собственной формы. Учение о Г. представляет блестящую страницу современного естествознания. Казавшаяся некогда неуловимой форма тела, по понятиям древних занимавшего среднее… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Раздел прикладной физики или теоретической теплотехники, в котором исследуется превращение движения в теплоту и наоборот. В термодинамике рассматриваются не только вопросы распространения теплоты, но и физические и химические изменения, связанные … Энциклопедия Кольера

Англ. FIFA World Cup … Википедия

Основой описания процессов в элементах пневмоавтоматики является первый закон термодинамики. Первый закон термодинамики является частным случаем закона сохранения энергии. Этот закон утверждает, что в изолированной системе сумма всех видов энергий является величиной постоянной.

Соотношение между теплотой и работой установлено Робертом Майером в 1842 году

В системе СИ тепловой эквивалент работы А = 1.

Немецкий врач и физик Юлиус Роберт фон Майер родился в Хейльбронне в семье аптекаря. Получив медицинское образование, он несколько месяцев работал в клиниках Парижа, после чего отправился в качестве корабельного врача на о. Ява. В течение годичного плавания (1840–1841 гг.) врач Майер пришел к своему великому открытию. По его словам, на этот вывод его натолкнули наблюдения над изменением цвета крови у людей в тропиках. Производя многочисленные кровопускания на рейде в Батавии, Майер заметил, что «кровь, выпускаемая из ручной вены, отличалась такой необыкновенной краснотой, что, судя по цвету, я мог бы думать, что я попал на артерию». Он сделал отсюда вывод, что «температурная разница между собственным теплом организма и теплом окружающей среды должна находиться в количественном соотношении с разницей в цвете обоих видов крови, т.е. артериальной и венозной... Эта разница в цвете является выражением размера потребления кислорода или силы процесса сгорания, происходящего в организме».

Во времена Майера было распространено учение о жизненной силе организма (витализм): живой организм действует благодаря наличию в нём особой жизненной силы. Тем самым физиологические процессы исключались из сферы физических и химических законов и обусловливались таинственной жизненной силой. Майер своим наблюдением показал, что организм управляется естественными физико-химическими законами, и прежде всего законом сохранения и превращения энергии. Вернувшись из путешествия, он тут же написал статью под заглавием «О количественном и качественном определении сил», которую направил 16 июня 1841 г. в журнал «Анналы...» И. Поггендорфу. В этой работе Майера, несмотря на некоторые несообразности, содержится вполне определённая и ясная формулировка закона сохранения и превращения силы, т. е. энергии. Поггендорф, однако, не напечатал статью и не вернул её автору, она пролежала в его письменном столе 36 лет, где и была обнаружена после смерти Поггендорфа. В 1842 г. Майер публикует другую статью в журнале «Анналы химии и фармации».

Эта работа Майера по праву считается основополагающей в истории закона сохранения и превращения энергии. Особенно важна идея Майера о качественном превращении сил (энергии) при их количественном сохранении. Майер подробно анализирует всевозможные формы превращения энергии в брошюре «Органическое движение в его связи с обменом вещества», вышедшей в Гейльбронне в 1845 г. Майер сначала думал опубликовать свою статью в тех же «Анналах химии и фармации», но их редактор Ю. Либих, сославшись на перегрузку журнала химическими статьями, посоветовал переслать статью в «Анналы» Поггендорфа. Майер, понимая, что Поггендорф поступит с ней так же, как со статьей 1841 г., решил опубликовать статью брошюрой за свой счет.

В своей брошюре Майер подробно подсчитывает механический эквивалент теплоты; он приводит данные по теплотворной способности углерода и обращает внимание на низкий коэффициент полезного действия тепловых машин, максимальное значение которого в современных ему машинах составляло 5–6%, а в локомотивах не достигало и одного процента. Рассматривая электризацию трением и действие электрофора, Майер указывает, что здесь «механический эффект превращается в электричество». Он делает вывод: затрата механического эффекта вызывает как электрическое, так и магнетическое напряжение. В заключение своего анализа Майер останавливается на «химической силе». Интересно, что вопрос о химической энергии у него сочетается с вопросом об энергетике солнечной системы. Он указывает, что поток солнечной энергии (силы), являющийся и на нашу Землю, «есть та непрестанно заводящаяся пружина, которая поддерживает в состоянии движения механизм всех происходящих на Земле деятельностей».

Майер закончил развитие своих идей к 1848 г., когда в брошюре «Динамика неба в популярном изложении» он поставил и сделал попытку решить важнейшую проблему об источнике солнечной энергии. Майер понял, что химическая энергия недостаточна для восполнения огромных расходов энергии Солнца. Однако из других источников энергии в его время была известна только механическая энергия. И Майер сделал вывод, что теплота Солнца восполняется бомбардировкой его метеоритами, падающими на него со всех сторон непрерывно из окружающего пространства. В работе 1851 г. «Замечания о механическом эквиваленте теплоты» Майер излагает сжато и популярно свои идеи о сохранении и превращении силы.

Работы Майера долго оставались незамеченными: первая статья не была опубликована вообще, вторая увидела свет в не читаемом физиками химическом журнале, третья – в частной брошюре. Вполне понятно, что открытие Майера не дошло до физиков, и закон сохранения энергии открывали независимо от него и другими путями другие авторы, прежде всего Дж. Джоуль и Г. Гельмгольц. Майер оказался втянутым в тягостно отразившийся на нём спор о приоритете; лишь в 1862 г. Р. Клаузиус и Дж. Тиндаль обратили внимание на исследования Майера. Оценка заслуг Майера в создании механической теории тепла вызвала в своё время ожесточённую полемику между Клаузиусом, Тиндалем, Джоулем и Дюрингом.

Майер, вынужденный отстаивать свой приоритет в открытии закона сохранения энергии, делал это в спокойном и достойном тоне, скрывая ту глубокую душевную травму, которая была нанесена ему «мелкой завистью цеховых ученых» и «невежеством окружающей среды», по словам К. А. Тимирязева. Достаточно сказать, что в 1850 г. он пытался покончить жизнь самоубийством, выбросившись из окна, и остался на всю жизнь хромым. Его травили в газетах, обвиняли скромного и честного учёного в мании величия, подвергли принудительному «лечению» в психиатрической больнице.

Майер умер 20 марта 1878 г. Незадолго до смерти, в 1874 г. вышло собрание его трудов по закону сохранения и превращения энергии под заглавием «Механика тепла». В 1876 г. вышли его последние сочинения «О торричеллиевой пустоте» и «Об освобождении сил». (См. далее).

Первый закон термодинамики утверждает, что теплота dq, подведенная к ТДС идет на совершение работы dl этой системой и на изменение внутренней энергии du ТДС.

dq = du + dl.

Под внутренней энергией термодинамической системы понимается вся энергия заключенная в этой системе. Эту энергию определяет энергия поступательного, вращательного и колебательного движения молекул, а также энергия взаимодействия молекул и атомов. Абсолютное значение внутренней энергии ТДС методами термодинамики не определяется. В технической термодинамике принято считать внутреннюю энергию ТДС при нулевой температуре равной нулю и рассматривать приращение внутренней энергии относительно этого уровня.