Степенной ряд радиус сходимости степенного ряда. Степенные ряды, их сходимость, разложение функций в степенные ряды
Функциональные ряды
Определение. Рассмотрим последовательность функций , имеющих общую область определения D . Ряд вида
, (2.1.1)
называется функциональным .
При каждом частном значении x=x 0 такой ряд превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться. Множество всех значений аргумента x , при которых функциональный ряд превращается в сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.
Пример 1.
Область определения всех этих функций: . Все члены ряда >0 Þ ряд знакоположительный. Для нахождения области сходимости применим радикальный признак Коши:
, т.к. не зависит от п .
Ряд сходится, если , т.е.
Ряд расходится, если , т.е. ;
При х =0 получим числовой ряд 1+1+1+…+…, который расходится.
Таким образом, областью сходимости является промежуток (рис.2.1.1).
Например, при х
=1 получим числовой ряд
Это геометрическая прогрессия со знаменателем Þ сходится. При х
=-1 ряд имеет вид Это прогрессия со знаменателем Þ расходится.
Пример 2. . ООФ: . Раскроем модуль.
При
- гармонический ряд, расходится.
При
- ряд Лейбница, сходится.
Область сходимости (рис.2.1.2).
Частичная сумма функционального ряда
Это функция от х , т.к. при любом х будет своё выражение . Последовательность частичных сумм при каждом х будет иметь свой предел, следовательно:
сумма сходящегося функционального ряда является некоторой функцией аргумента x , определённой в области его сходимости. Символическая запись
означает, что S (x ) является суммой ряда в области D .
По определению сумма ряда S (x ) является пределом последовательности его частичных сумм при :
Для сходящихся рядов справедливо равенство:
где - остаток ряда.
Из выражения (2.1.3) следует равносильность предельных соотношений:
Степенные ряды. Основные понятия и определения
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды .
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:
где - постоянные, называемые коэффициентами ряда ; x 0 - известное число.
При ряд приобретает вид
, (2.2.2)
При x=x 0 ряд превращается в свой первый коэффициент . Тогда сумма ряда равна этому числу, и он сходится. Поэтому точка x=x 0 называется центром сходимости степенного ряда (2.2.1). Таким образом, степенной ряд всегда сходится хотя бы в одной точке. Сделав замену x-x 0 =Х , можно свести общий случай степенного ряда (2.2.1) к частному случаю (2.2.2). В дальнейшем мы будем в основном рассматривать ряды типа (2.2.2). Этот ряд всегда сходится по крайней мере в точке х =0.
Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество значений х , при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Очевидно, что частичная сумма степенного ряда
является функцией переменной х . Поэтому и сумма ряда является некоторой функцией переменной х , определенной в области сходимости ряда:
. (2.2.4)
Теорема Абеля
Исследование сходимости функциональных рядов при заданном значении х можно производить при помощи известных признаков сходимости числовых рядов. Характер же сходимости именно степенных рядов определяется следующей основной теоремой.
Теорема Абеля.
|
1) Если степенной ряд (2.2.2) сходится при x=x 0 ¹ 0, то он сходится, причем абсолютно, при любом значении x , удовлетворяющем условию , т.е. в интервале .
2) Если ряд (2.2.2) расходится при x=x 1 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих условию (рис.2.3.1).
Точки, в которых степенной ряд сходится, называются точками сходимости , а где он расходится – точками расходимости .
Радиус сходимости и интервал сходимости
Степенного ряда
Используя теорему Абеля, можно показать, что для каждого степенного ряда вида (2.2.2), имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости (т.е. сходящегося не только в точке и не на всей числовой прямой), существует такое положительное число R , что для всех x , удовлетворяющих условию , ряд абсолютно сходится; а при ряд расходится. При x =± R возможны различные случаи: а) ряд может сходиться в обеих точках ± R ; б) ряд может расходиться в обеих точках ± R ; в) ряд может сходиться в одной из них абсолютно или условно и расходиться в другой (рис.2.4.1). Чтобы выяснить сходимость ряда на границах интервала, нужно подставить значения x =± R в ряд (2.2.2) и исследовать полученные числовые ряды:
|
с помощью известных признаков сходимости. В одних случаях могут получаться знакоположительные ряды, в других – знакочередующиеся.
Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал - интервалом сходимости. После исследования границ получим уточнённый интервал сходимости, называемый областью сходимости .
Предельные случаи, когда ряд (2.2.2) сходится только при x =0 или сходится при всех значениях x , символически записывают так: R =0 или R =¥.
Так как внутри интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно, то для нахождения интервала сходимости этого ряда достаточно найти те значения аргумента x , при которых сходится ряд, составленный из модулей членов степенного (в общем случае знакопеременного) ряда. Для этого можно применить признак Д’Аламбера. Это равносильно тому, чтобы к исходному ряду применить общий признак Д’Аламбера.
Пример 1. Найти интервал сходимости ряда
По общему признаку Д’Аламбера вычисляем предел модуля отношения последующего члена к предыдущему:
Þ ряд абсолютно сходится, если Длина интервала сходимости равна двум единицам, радиус сходимости . Проверим сходимость ряда при x =-1 и x =1. При x =-1:
Полученный числовой ряд сходится абсолютно, т.к. ряд, составленный из модулей его членов (он находится в скобках), является обобщённым гармоническим с . При x =1:
ряд сходится абсолютно по той же причине.
|
Итак, областью сходимости ряда является промежуток -1£x £1, или .
Замечание. Радиус сходимости ряда с последовательно возрастающими степенями (нулевая, первая, вторая, и.т.д) можно также найти по формуле:
, (2.4.1)
где и – коэффициенты при степенях х . Подчеркнём, что она годится лишь в случае, когда в ряде вида (2.2.2) или (2.2.1) присутствуют все степени х .
В данном примере
.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
Здесь x – действительная переменная. Числа a n (n = 0, 1, 2, … ) называются коэффициентами ряда . В дальнейшем ограничимся случаем, когда все a n и величина x 0 – действительные числа. Степенной ряд (9.5) называют также рядом по степеням разности x x 0 .
Если x 0 = 0 , то получим степенной ряд вида
, (9.6)
который называют рядом по степеням x .
Степенной ряд (9.5) приводится к виду (9.6) с помощью простого преобразования x x 0 = t (перенос начала на числовой оси). В силу этого теория степенных
рядов (9.5) и (9.6) общая. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением основных свойств рядов вида (9.6).
При рассмотрении степенных рядов основным вопросом является определение их области сходимости , т. е. множества тех значений x , при которых ряд сходится.
Эта задача решается на базе теоремы Абеля .
Если степенной ряд (9.6) сходится при некотором значении x = x 1 0 , то он абсолютно сходится при всех значениях x , удовлетворяющих неравенству x < x 1 .
Если же ряд расходится при некотором значении x = x 2 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих неравенству x > x 2 .
Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда (9.6).
Действительно, если x 1 – точка сходимости, то весь интервал ( x 1 , x 1 ) заполнен точками абсолютной сходимости.
Если x 2 – точка расходимости, то интервалы ( , x 2 ) и (x 2 , + )состоят из точек расходимости.
Из этого можно заключить, что существует такое число R , что при x < R степенной ряд абсолютно сходится, а при x > R – расходится.
Интервал ( R , R ) называется интервалом сходимости степенного ряда (9.6). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов представляет собой всю числовую прямую (в этом случаеR = ), у других вырождается в одну точку (случай R = 0 ). При x = R , т. е. на концах интервала сходимости, ряд может сходиться абсолютно, условно или расходиться. Для выяснения поведения ряда в концевых точках необходимо в выражение для ряда подставить вместо x значения R и получившиеся два числовых ряда исследовать на сходимость. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда индивидуально.
В применении к степенным рядам вида (9.5) полученные результаты видоизменяются только в том, что центр сходимости находится в точке x = x 0 , а не в точке x = 0 , т. е. интервал сходимости степенного ряда (9.5) симметричен относительно точки x = x 0 и представляет собой интервал x 0 R < x < x 0 + R .
Заметим, что для нахождения интервала сходимости степенного ряда (9.6) можно исследовать ряд
, (9.7)
составленный из модулей членов данного ряда, так как интервалы сходимости этих рядов совпадают.
Для определения сходимости ряда (9.7), члены которого положительны, обычно применяют признаки сходимости Даламбера или Коши.
Допустим,
что существует предел
.
Тогда
по признаку Даламбера ряд (9.7) сходится
при
,
т. е. если
,
и расходится при
,
т. е. если
.
Таким образом, данный ряд сходится
внутри интервала
и расходится вне его, т. е. радиус
сходимости равен
.
Замечания.
1) Если A = 0 , то исходный ряд абсолютно сходится при всех числовых значениях x , так как при этом имеем x A = 0 < 1 для любого x . В этом случае радиус сходимостиR = .
2) Если A = , то исходный ряд сходится в единственной точке x = 0 . Ранее было принято, что в этом случае R = 0 .
3)
Аналогично, для определения интервала
сходимости можно пользоваться признаком
Коши, если существует
.
В этом случае
.
4) Интервал сходимости можно находить, используя непосредственно признаки Даламбера или Коши.
Пример
9.11.
Определить
область сходимости ряда
.
Решение.
Здесь
.
Поэтому,
.
Итак,
интервал
является интервалом сходимости заданного
ряда.
Исследуем
поведение ряда на концах интервала
сходимости. При
ряд примет вид
.
Это гармонический ряд, он расходится.
При
ряд примет вид
.
Этот знакочередующийся ряд сходится
условно, так как легко проверить, что
выполняются условия признака Лейбница,
а ряд из модулей
расходится.
Итак,
при
ряд сходится абсолютно, при
ряд сходится условно, во всех других
точках ряд расходится.
Пример
9.12.
Найти область
сходимости ряда
.
Решение. Воспользуемся признаком Коши. Имеем
Отсюда, ряд абсолютно сходится только при x = 1 , а во всех других точках числовой оси ряд расходится. Радиус сходимости R = 0 .