Стандартный вид числа. Приведение одночлена к стандартному виду, примеры, решения

⁰

На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Приведение многочлена к стандартному виду. Типовые задачи

Напомним основное определение: многочлен - это сумма одночленов. Каждый одночлен, входящий в состав многочлена как слагаемое называется его членом. Например:

Двучлен;

Многочлен;

Двучлен;

Поскольку многочлен состоит из одночленов, то первое действие с многочленом следует отсюда - нужно привести все одночлены к стандартному виду. Напомним, что для этого нужно перемножить все численные множители - получить численный коэффициент, и перемножить соответствующие степени - получить буквенную часть. Кроме того, обратим внимание на теорему о произведении степеней: при умножении степеней показатели их складываются.

Рассмотрим важную операцию - приведение многочлена к стандартному виду. Пример:

Комментарий: чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести к стандартному виду все одночлены, входящие в его состав, после этого, если есть подобные одночлены - а это одночлены с одинаковой буквенной частью - выполнить действия с ними.

Итак, мы рассмотрели первую типовую задачу - приведение многочлена к стандартному виду.

Следующая типовая задача - вычисление конкретного значения многочлена при заданных численных значениях входящих в него переменных. Продолжим рассматривать предыдущий пример и зададим значения переменных:

Комментарий: напомним, что единица в любой натуральной степени равна единице, а ноль в любой натуральной степени равен нулю, кроме того, напомним, что при умножении любого числа на ноль получаем ноль.

Рассмотрим ряд примеров на типовые операции приведения многочлена к стандартному виду и вычисление его значения:

Пример 1 - привести к стандартному виду:

Комментарий: первое действие - приводим одночлены к стандартному виду, нужно привести первый, второй и шестой; второе действие - приводим подобные члены, то есть выполняем над ними заданные арифметические действия: первый складываем с пятым, второй с третьим, остальные переписываем без изменений, так как у них нет подобных.

Пример 2 - вычислить значение многочлена из примера 1 при заданных значениях переменных:

Комментарий: при вычислении следует вспомнить, что единица в любой натуральной степени это единица, при затруднении вычислений степеней двойки можно воспользоваться таблицей степеней.

Пример 3 - вместо звездочки поставить такой одночлен, чтобы результат не содержал переменной :

Комментарий: независимо от поставленной задачи, первое действие всегда одинаково - привести многочлен к стандартному виду. В нашем примере это действие сводится к приведению подобных членов. После этого следует еще раз внимательно прочитать условие и подумать, каким образом мы можем избавиться от одночлена . очевидно, что для этого нужно к нему прибавить такой же одночлен, но с противоположным знаком - . далее заменяем звездочку этим одночленом и убеждаемся в правильности нашего решения.

Понятие многочлена

Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:

здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.

Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.

Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.

Число ноль - это нулевой многочлен.

Стандартный вид многочлена

Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.

Пример многочлена в стандартном виде:

здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.

Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:

здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:

Ещё пример:

Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:

Степень многочлена

Что такое степень многочлена?

Степень многочлена определение:

Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.

Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.

Другой пример. Какова степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 +1? Степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а его степень равна 9-ти.

Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.

Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.

Инструкция

Раскройте все скобки выражения. Для этого воспользуйтесь формулами, например, (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Если вы не знаете формул, или их трудно применить к данному выражению, раскрывайте скобки последовательно. Для этого умножайте первый член первого выражения на каждый член второго выражения, затем второй член первого выражения на каждый член второго и т.д. В результате все элементы обоих скобок будут перемножены между собой.

Если перед вами три выражения в скобках, сначала перемножьте первые две, оставляя третье выражение не тронутым. Упростив результат, получившийся в результате преобразования первых скобок, перемножьте его с третьим выражением.

Внимательно следите за соблюдением знаков перед множителями-одночленами. Если вы перемножаете два члена с одним знаком (например, оба положительны или оба отрицательны), одночлен будет со знаком «+». Если же один член имеет перед собой «-», не забудьте перенести его на произведение.

Приведите все одночлены к стандартному виду. То есть переставьте местами множители внутри и упростите. Например, выражение 2х*(3,5х) будет равно (2*3,5)*х*х=7х^2.

Когда все одночлены будут стандартизированы, попробуйте упростить многочлен. Для этого сгруппируйте члены, у которых одинакова часть с переменными, например, (2х+5х-6х)+(1-2). Упростив выражение, вы получите х-1.

Чтобы преобразовать в многочлен выражение, содержащее корень, выведите под ним выражение, которое будет возведено в квадрат. Например, воспользуйтесь формулой a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, затем уберите знак корня вместе с четной степенью. Если избавиться от знака корня невозможно, преобразовать выражение в многочлен стандартного вида не удастся.

Источники:

преобразование многочлена калькулятор

Краткость, как говорится, - сестра таланта. Каждому хочется блеснуть талантом, но вот его сестра - штука сложная. Гениальные мысли почему-то сами собой облекаются в сложноподчинённые предложения со множеством деепричастных оборотов. Однако в ваших силах упростить свои предложения и сделать их понятными и доступными всем.

Инструкция

Чтобы облегчить адресату (будь то слушатель или читатель) , постарайтесь заменять причастные и деепричастные обороты короткими придаточными предложениями, особенно если вышеуказанных оборотов слишком много в одном предложении. "Пришедший домой кот, только что съевший мышь, громко мурлыча, ласкался к хозяину, пытаясь заглянуть ему в глаза, надеясь выпросить рыбу, принесённую из магазина" - не пойдёт. Разбейте подобную конструкцию на несколько частей, не торопитесь и не пытайтесь сказать всё одним предложением, вам счастье.

Если вы задумали гениальное высказывание, но в нём оказалось слишком много придаточных предложений (тем более с одним ), то лучше разбить высказывание на несколько отдельных предложений или опустить какой-то элемент. "Мы решили, что он расскажет Марине Васильевне, что Катя скажет Вите, что..." - можно продолжать бесконечно. Вовремя остановитесь и вспомните о том , кто будет это читать или выслушивать.

Обозначайте разные подобные члены по-разному. Для этого лучше подчеркивайте одинарными, двойными и тройными линиями, используйте цвет и другие формы линий.

Проследите за выполнением второго условия, требующегося для записи многочлена в стандартной форме: каждый его участник должен быть изображен в виде одночлена в стандартном виде: на первом месте – числовой множитель, на втором – переменная или переменны, следующие в уже обозначенном порядке. При этом имеет буквенная последовательность, задаваемая алфавитом. Убывание степеней учитывается во вторую очередь. Так, стандартным видом одночлена является запись 7xy2, в то время как y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не требованиям.

Видео по теме

Математическая наука изучает различные структуры, последовательности чисел, отношений между ними, составление уравнений и их решение. Это формальный язык, которым можно четко описать приближенные к идеальным свойства реальных объектов, изучаемых в других областях науки. Одной из таких структур является многочлен.

Инструкция

Многочлен или (от греч. «поли» - много и лат. «номен» - имя) – элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные коэффициенты, x – переменная.

Многочлены применяются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, отрицательных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Использование полиномиальных вычислений значительно упрощает выражение свойств разных объектов.

Основные определения :
Каждое слагаемое полинома называется или мономом.
Многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом или биномом.
Коэффициенты полинома – вещественные или комплексные числа.
Если коэффициент равен 1, то называют унитарным (приведенным).
Степени переменной в каждом одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью называется целое число, равное сумме всех степеней.
Одночлен, соответствующий нулевой степени, называется свободным членом.
Многочлен, все которого имеют одинаковую полную степень, называется однородным.

Некоторые часто используемые многочлены названы по фамилии ученого, который их определил, а также функции, которые они задают. Например, Бином Ньютона – это для разложения полинома на отдельные слагаемые для вычисления степеней. Это известные из школьной программы записи квадратов суммы и разности (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 и разность квадратов (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).

Если допустить в записи многочлена отрицательные степени, то получится многочлен или ряд Лорана; многочлен Чебышева используется в теории приближений; многочлен Эрмита – в теории вероятностей; Лагранжа – для численного интегрирования и интерполяции; Тейлора – при аппроксимации функции и т.д.

Обратите внимание

Бином Ньютона часто упоминают в книгах («Мастер и Маргарита») и фильмах («Сталкер»), когда герои решают математические задачи. Этот термин на слуху, поэтому считается самым известным многочленом.

Преобразование выражений чаще всего производится с целью их упрощения. Для этого используются специальные соотношения, а также правила сокращения и приведения подобных.

Вам понадобится

- действия с дробями;
- формулы сокращенного умножения;
- калькулятор.

Инструкция

Простейшим преобразованием является приведение подобных. Если есть слагаемых, которые представляют собой одночлены с одинаковыми сомножителями, коэффициент при них можно сложить, с учетом знаков, которые стоят перед этими коэффициентами. Например, выражение 2 n-4n+6n-n=3 n.

Если есть возможность, используйте формулы сокращенного умножения. К наиболее популярным куб и квадрат суммы или разности двух чисел. Они представляют собой частный случай Ньютона. К формулам сокращенного умножения также квадратов двух чисел. Например, чтобы найти 625-1150+529=(25-23)?=4. Или 1296-576=(36+24) (36-24)=720.

Когда нужно преобразовать выражение , которое представляет собой натуральную дробь, выделите из числителя и знаменателя общий множитель и сократите на него числитель и знаменатель. Например, сократите дробь 3 (a+b)/(12 (a?-b?)). Для этого преобразуйте ее в вид 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)). Сократите это выражение на 3 (a+b), получите 1/(4 (a-b)).

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Приведение многочлена к стандартному виду. Типовые задачи

Двучлен;

Многочлен;

Двучлен;

Рассмотрим важную операцию - приведение многочлена к стандартному виду. Пример:

Итак, мы рассмотрели первую типовую задачу - приведение многочлена к стандартному виду.

Пример 1 - привести к стандартному виду:

Пример 2 - вычислить значение многочлена из примера 1 при заданных значениях переменных:

Пример 3 - вместо звездочки поставить такой одночлен, чтобы результат не содержал переменной :