Расчетное время ожидания в очереди. Время ожидания в очередях

⁰

Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа.

Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху каким-то сроком , который может быть как строго определенным, так и случайным. При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел или нет). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.

В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют системы массового обслуживания «с преимуществами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»).

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию. Многие из них описаны, например, в книге В. В. Гнеденко «Лекции по теории массового обслуживания».

Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания с каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью . Время обслуживания одной заявки - показательное, с параметром . Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания будем считать случайным и распределенным по показательному закону

где параметр - величина, обратная среднему сроку ожидания:

; .

Параметр полностью аналогичен параметрам и потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания , после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность .

Очевидно, при система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при она превращается в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные состояния системы будут:

Ни один канал не занят (очереди нет),

Занят ровно один канал (очереди нет),

Занято ровно каналов (очереди нет),

Заняты все каналов (очереди нет),

Заняты все каналов, одна заявка стоит в очереди,

Заняты все каналов, заявок стоят в очереди,

Число заявок , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:

Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние система с отказами может перейти только из состояния ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние не только из , но и из (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим дифференциальное уравнение для . Зафиксируем момент и найдем - вероятность того, что система в момент будет в состоянии . Это может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время перешла в (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).

Вычислим теперь при любом - вероятность того, что в момент все каналов будут заняты и ровно заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из стоящих в очереди заявок не ушла);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (т. е. пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).

Следовательно:

Таким образом, мы получили для вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений:

(19.10.1)

Уравнения (19.10.1) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности при возрастании становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.

Выведем формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при ). Из уравнений (19.10.1), полагая все постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:

(19.10.2)

К ним нужно присоединить условие:

Найдем решение системы (19.10.2).

Для этого применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно подставим во второе, и т. д. Для любого , как и в случае системы с отказами, получим:

Перейдем к уравнениям для . Тем же способом получим:

и вообще при любом

. (19.10.5)

В обе формулы (19.10.4) и (19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия (19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для и , получим:

. (19.10.6)

Преобразуем выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей и «приведенные» плотности:

(19.10.7)

Параметры и выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.

В новых обозначениях формулы (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид:

; (19.10.9)

. (19.10.10)

Подставляя (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:

; (19.10.11)

. (19.10.12)

Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди:

. (19.10.13)

Чтобы получить , нужно умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки и разделить на среднюю плотность заявок , т. е. умножить на коэффициент

Пери Куклин (Perry Kuklin)

Каждый владелец бизнеса со всеми своими менеджерами хотел бы ежедневно и еженощно видеть не только растущие прибыли, но и счастливых, полностью удовлетворённых покупателей. Один из путей достижения этой цели - создание в грядущем 2014 году лучших условий для ожидающих в очереди клиентов. Вот пять простых способов:

1. Развлеките посетителей

Скопившихся в очереди покупателей надо чем-то отвлечь. А поскольку сегодняшняя культура настроена на все виды экранного действа, занятие ваших очередей созерцанием дисплеев займёт всё внимание посетителей и в их памяти не отложатся связанные с ожиданием отрицательные эмоции.

2. Вперёд, в виртуальность

Электронная очередь – вот на чём всё ещё спотыкаются многие компании. Как такая «куча мала» может сработать в вашу пользу, если вы всё время были зависимы от классической очереди типа «кто последний, я за вами»?

Никогда не забывайте, что большинство людей высоко ценят своё время и свободу действий. Создание электронной очереди глушит в посетителях чувство потери времени и дискомфорт от вынужденного выстраивания в ряд. При наличии электронной очереди клиенты могут присесть, заняться чем-то, кроме утомительного ожидания, да просто насладиться возможностью делать что угодно, без необходимости топтаться в очереди.

3. Следите за очередями

Разрешение проблемы очередей не только в создании более комфортных условий для покупателей; рассмотрите вопрос с точки зрения менеджмента – в конечном итоге это принесёт выгоду вам и удовлетворение покупателям.

Отслеживание движения очереди в реальном времени позволяет ответственным за это менеджерам в любое мгновение держать руку на пульсе каждой из очередей. Для информирования менеджера торгового зала о том, что где-то произошёл сбой, можно настроить любую форму извещения (текстовое сообщение, электронное письмо и пр.). Так он сразу узнает, что персонал компании тормозит, очереди движутся слишком медленно и т.д.

Отслеживание очередей позволяет также фиксировать рекордные показатели скорости их движения, что является бесценной информацией для менеджеров. На её основе они могут прогнозировать периоды пиков и спадов нагрузки, соответственно маневрируя персоналом и количеством работающих кассовых терминалов.

4. Добавьте немного мобильности

Общайтесь с покупателями в очереди самым доступным сегодня способом – через смартфоны. В электронную очередь можно привнести элемент мобильности, позволяющий клиентам через телефон регистрировать своё место в очереди и общаться с персоналом в текстовом режиме, когда их очередь уже подходит.

Развлекательному элементу, описанному выше, тоже не лишне придать мобильности. На экраны смартфонов можно выводить информацию о том, как клиентам улучшить свой покупательский опыт (подписка на купоны, дисконтные карты, грядущие промо-акции и, разумеется, оставшееся время ожидания в очереди).

5. Совместите трансляцию на смартфоны с мерчендайзингом

В розничной торговле решение проблемы очередей воистину элементарно. Клиенты могут увидеть товар и отметить его преимущества самостоятельно, но если представить им изделие в действии, то можно укрепить их стремление к покупке, которое до этого момента могло быть не слишком уверенным. Подумайте вот о чём: в интернет-торговле для увеличения конверсии и уровней продаж широко используются видеоматериалы. Что мешает применять эту технику в оффлайн торговле?

Воспользуйтесь тем, что у покупателя в руках дивайс, который может служить вашей витриной. Предложите клиенту посмотреть видеоролик с хорошо распродающимся товаром, рассказывающий о его особенностях; или даже видеозапись одобрительных высказываний о нём довольных покупателей. Доводя до томящихся в очереди людей такого рода информацию, да ещё с одновременной её прокруткой на больших дисплеях в зоне видимости, вы заботитесь об удовлетворении двух крайне важных потребностей: развлечение клиентов и увеличение продаж компании.

Ожидание в очереди становится последним впечатлением покупателя о вашем бизнесе (представьте себе розничный магазин), а последние слова разговора запоминаются лучше всего – это аксиома. В ряде случаев это вообще основа клиентского опыта (представьте себе аэропорт). Всегда найдутся пути улучшить взаимодействие с людьми, которые пользуются услугами вашего бизнеса, при этом одна из лучших точек для старта – изменение организации очередей.

Перевод Леонида Пеленицына

Рассмотрим n - канальную систему массового обслуживания с ожиданием.

Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.

Размер очереди допускает нахождение в ней m заявок.

Для нахождения предельных вероятностей можно использовать следующие выражения.

(0‑1)

где.

Вероятность отказа в обслуживании заявки (отказ произойдет в случае, если все каналы заняты и в очереди находятся m заявок):

(0‑2)

Относительная пропускная способность .

(0‑3)

Абсолютная пропускная способность .

(0‑4)

Среднее число занятых каналов.

Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает (в отличие от СМО с отказами) со средним числом заявок в системе. Отличие равно числу заявок, ожидающих в очереди.

Обозначим среднее число занятых каналов. Каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени, а СМО в целом – А заявок в единицу времени. Разделив А на μ получим

(0‑5)

Среднее число находящихся в очереди заявок.

Для нахождения среднего числа ожидающих в очереди заявок в случае, если χ≠1, можно использовать выражение:

(0‑6)

(0‑7)

где = .

Среднее число находящихся в системе заявок.

(0‑8)

Среднее время ожидания заявки в очереди .

Среднее время ожидания заявки в очереди можно найти из выражения (χ≠1).

(0‑9)

Среднее время пребывания заявки в системе.

Так же как и в случае с одноканальной СМО имеем:

(0‑10)

Содержание работы .

Подготовка инструментария эксперимента .

Выполняется в соответствии с общими правилами.

Расчет на аналитической модели .

1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.

Параметры
СМО

Аналитическая
модель

Имитационная
модель

T a

Pотк

nож

Pотк

2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите свои исходные данные, которые определяются по правилу:

n =1,2,3

m=1,3,5

Для каждой комбинации { n ,m} необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:

= <порядковый номер в списке группы>

3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.

Эксперимент на имитационной модели .

1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.

2. Для каждой комбинации n, m, и осуществите запуск модели.

Результаты запусков внесите в таблицу.

3. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя Pотк, q и А.

Анализ результатов .

1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.

2. Для одной из комбинаций {n,m} постройте на одной диаграмме графики зависимости Pотк от на теоретически и экспериментально полученных данных.

Оптимизация параметров СМО .

Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для двух приборов со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:

- доход от обслуживания одной заявки равным 80у.е./час,

- стоимость содержания одного прибора - 1у.е./час,

- стоимость содержания одного места в очереди – 0.2у.е./час.

1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:

Первый столбец заполняется значениями числа приборов n =1.

Второй столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).

Все клетки третьего и четвертого столбцов заполняются значениями.

В клетки столбцов с пятого по четырнадцатый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.

В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).

В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:

- число заявок в единицу времени

N r =A

- суммарный доход в единицу времени

I S = I r *N r

- суммарный расход в единицу времени

E S =E s *n + E q *m

- прибыль в единицу времени

P = I S - E S

где

I r - доход от одной заявки ,

E s - расход на один прибор ,

E q - расход на одно место в очереди

2. Заполните строки таблицы для n=2 и n=3.

Найдите m опт для n =1 ,2,3.

3. Постройте на одной диаграмме графики зависимости C(m) для n=1,2,3.

Отчет по работе :

Отчет по работе должен включать:

- исходные данные,

- результаты расчетов и экспериментов с программной моделью,

Графики для P отк ,

- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,

- графики зависимости прибыли в единицу времени от m для n=1,2,3.

Контрольные вопросы :

1) Дайте краткое описание многоканальной модели СМО с ограниченной очередью.

2) Какими показателями характеризуется функционирование многоканальной СМО с ограниченной очередью?

3) Как рассчитываются предельные вероятности многоканальной СМО с ограниченной очередью?

4) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?

5) Как найти относительную пропускную способность?

6) Чему равна абсолютная пропускная способность?

7) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?

8) Приведите примеры многоканальной СМО с ограниченной очередью.

Задачи .

1) На автозаправочной станции установлены 3 колонки и площадка на 3 автомобиля для ожидания заправки. В среднем на станцию прибывает одна машина каждые 4 минуты. Среднее время обслуживания одной машины - 2,8 мин. Определить характеристики работы автозаправочной станции.

2) На станцию технического осмотра автомобилей, имеющего 3 смотровых поста, в среднем поступает 1 автомобиль за 0,4 часа. Стоянка во дворе вмещает 3 машины. Среднее время работы одного поста - 0,5 часа. Определить характеристики работы СТО.

3) В магазин осуществляется завоз товаров автомобилями. В течение дня прибывают в среднем 6 машин. Подсобные помещения для подготовки товаров к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя машинами. В магазине работают посменно три фасовщика товаров, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар одной машины в течение 5 часов. Продолжительность рабочего дня фасовщиков составляет 12 часов. Определить характеристики работы магазина, а также, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была больше 0,96.

4) В магазине работают три кассы. Среднее время обслуживания одного покупателя - 3 мин. Интенсивность потока покупателей - 7 человек в минуту. Число покупателей, стоящих в очереди к кассе, не может превышать 5 человек. Покупатель, пришедший в магазин, в котором в каждой очереди в кассу 5 человек, не ждет, а уходит из магазина. Определить характеристики работы магазина.

5) Оптовый склад производит отпуск товаров клиентам. Погрузку автомашины осуществляют три бригады грузчиков, каждая из которых состоит из 4 человек. Склад одновременно вмещает 5 автомашин и, если в это время прибывает новая автомашина, то она не обслуживается. Интенсивность входящего потока составляет 5 автомашин в час. Интенсивность по грузки составляет 2 автомашины в час. Дайте оценку работы склада и вариант его реорганизации.

6) Таможня располагает тремя терминалами. Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 30 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 3 часа. Если в очереди на прохождение таможенного контроля стоят 5 автомашин, то приезжающие автомашины уезжают на другую таможню. Найти показатели эффективности работы таможни.

7) На строительную площадку в среднем через 40 мин прибывают автомашины со строительным материалом. Среднее время разгрузки одной автомашины составляет 1,8 часа. В разгрузке принимают участие две бригады грузчиков. На территории строительной площадки может находиться в очереди на разгрузку не более 5 автомашин. Определить показатели эффективности работы строительной площадки.

8) На мойку, имеющую три рабочих места, в среднем в час приезжает 12 автомашин. Если в очереди уже находится 6 автомашин, вновь приезжающие автомобили не встают в очередь, а покидают мойку. Среднее время мойки автомашины составляет 20 мин, средняя стоимость услуг мойки - 150 руб. Определить показатели эффективности работы мойки и среднюю величину потери выручки в течение рабочего дня (с 9 до 19 часов).

9) Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 50 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 2,8 часа. Максимальная очередь на прохождение таможенного контроля должна быть не более 8 автомашин. Определить, какое количество терминалов надо открыть на таможне, чтобы вероятность простоя автомашин была минимальна.

Рассмотрим СМО с п каналами. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью l . Время ожидания заявки в очереди Т ож распределено по показательному закону со средним значением . Время обслуживания показательное со средним значением . Параметр n полностью аналогичен параметрам l и m . Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди.

Пусть максимальное число мест в очереди ограничено и равно т .

В этом случае система имеет т + n + 1 состояние. Размеченный граф состояний выглядит так:

Можно составить уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга для предельного стационарного режима при t ® ¥ вероятности состояний, полученные из этих уравнений запишутся так:

, (6.1)

, (6.2)

где .

Параметры a и b выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки. Данные формулы достаточно громоздки и требуют большой вычислительной работы. Поэтому их можно записать в другом виде:

(6.3)

(6.4)

Если d не является целым, то вычисление можно провести для двух ближайших к величине d целых числе и произвести между ними линейную интерполяцию.

Средне число занятых каналов определяем по формуле:

(6.5)

Вероятность обслуживания заявки Р обс = .

Если число мест в очереди не ограничено (т ® ¥), то формулы упрощаются с учетом того, то .

Если заявки, попавшие в очередь, не покидают ее, а терпеливо дожидаются обслуживания (n = 0, а значит, и b = 0), то формулы (6.1) и (6.2) превращаются в формулы (5.1), (5.2), которые мы рассматривали в § 5).

Если при этом длина очереди не ограничена (т ® ¥), то получим формулы (4.1), (4.2), мак как система превращается в чистую систему с ожиданием (см. § 4).

Задача 1 . В магазине обслуживают покупателей четыре продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя 4 мин. Плотность потока покупателей около двух человек в минуту. В очереди могут ожидать одновременно не более 20 человек. В среднем покупатель, вставший в очередь, ожидает 10 мин., после чего он покидает магазин.

Определить: 1) среднее число занятых продавцов;

2) среднее число покупателей, ожидающих в очереди;

3) вероятность того, что все места в очереди будут заняты;

4) вероятность того, что покупатель будет обслужен;

5) среднее время пребывания в очереди;

6) среднее время, затачиваемое на всю процедуру (ожидание в очереди и обслуживание).

Решение . Работа магазина может быть представлена как работа СМО смешанного типа. Параметры этой системы следующие:

п = 4 – число каналов обслуживания;

т = 20 – максимальное число мест в очереди;

– среднее число покупателей, приходящих в магазин;

– среднее время обслуживания одного покупателя ;

– среднее время ожидания покупателя в очереди. После чего он покидает магазин ;

; ; – целое число.

1) Среднее число занятых продавцов:

то есть практически все продавцы будут заняты.

2) Среднее число покупателей, ожидающих в очереди:

3) Вероятность того, что все места в очереди будут заняты:

то есть все места в очереди будут заняты с вероятностью менее 1 %.

4) Вероятность обслуживания:

6) Среднее время, затачиваемое на всю процедуру:

Задача 2 . С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе. В районе дозаправки постоянно дежурят четыре самолета-дозаправщика. Если дозаправка началась, то она осуществляется до конца и длится в среднем 10 минут. Если все дозаправщики заняты, то самолет, нуждающийся в дозаправке, может некоторое время «ожидать» (совершать полет по кругу в районе дозаправки); среднее время ожидании 20 минут. Если самолет не дождался дозаправки в воздухе, он садится на запасной аэродром. Интенсивность полетов такова, что в среднем за час в район дозаправки прибывает 24 самолета. Число самолетов, ожидающих дозаправки в воздухе, не ограничено.

Определить: 1) вероятность Р об с того, что самолет будет дозаправлен;

2) среднее число занятых дозаправщиков;

3) вероятность того, что произвольно взятый дозаправщик будет занят;

4) среднее время простоя дозаправщика.

Решение . Рассматриваемая система может быть рассмотрена как СМО смешанного типа с параметрами:

число каналов обслуживания п = 4;

число мест в очереди не ограничено (т ® ¥);

плотность потока заявок ;

плотность потока обслуживаний ;

плотность потока уходов из очереди .

Отсюда – целое число.

По формуле (6.5) находим среднее число дозаправщиков, занятых обслуживанием самолетов:

где R (¥;8) = 1.

Вероятность тог, что самолет будет дозаправлен:

Среднее время простоя дозаправщика:

Задачи .

1. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт по одному телефону. Среднее число заказов за 1 час – 2п . Среднее время оформления заявки т мин. Считается, что если клиент позвонил, а телефон занят, то он обратится в другую мастерскую (система без очереди). Найти основные характеристики СМО: 1) р 0 , р 1 ; 2) р обс ; 3) ; 4) . Проанализировать, как изменятся соответствующие показатели, если подключить второй телефон. С какой интенсивностью должны работать два работника, чтобы доля потерь заявок была менее 10 %? , менее 5 %?

2. В мастерской по ремонту холодильников имеются 3 мастера. Мастер в среднем может отремонтировать 1 холодильник за 80 минут. Рабочий день составляет 8 часов. В мастерскую в среднем поступает 40 заявок на ремонт за рабочий день. В случае, если все мастера заняты, холодильник в ремонт не принимается (СМО с отказом). Заработная плата мастеров почасовая,

150 рублей в час. Клиент в среднем платит за ремонт 300 рублей (запчасти оплачиваются отдельно). Определить чистую прибыль мастерской за смену. Как изменится прибыль, если пригласить в мастерскую 4-го мастера? Определить количество мастеров, при котором прибыль мастерской максимальна.

3. В платной справочной телефонной службе имеется четыре телефонные линии. В справочную поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью 1 заявка в 2 минуты. Ответ на каждый вопрос длится в среднем 6 минут. За ответ на каждый вопрос клиент платит 10 руб.. Эксплуатация одного канала обслуживания составляет 30 руб./час, создание канала обслуживания требует расхода 8000 руб. Определить чистый доход за один час. Через сколько часов произойдет окупаемость системы?

4. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заказов – 20, среднее время оформления заказа – 4 минуты. Определить показатели СМО:

1) вероятности состояний системы р 0 , р 1 ; 2) вероятность обслуживания заявки р обс ; 3) среднее число занятых каналов ; 4) вероятность занятости канала; 5) среднее время простоя канала. Проанализировать, как они изменятся, если подключить второй телефон.

5. Средний интервал между поступающими в прокатный пункт заявками и запросами на наличие определенных предметов составляет 5 мин. Принимают заявки два работника, каждый с интенсивностью 12 заявок в час. С какой интенсивностью должен работать один работник, выполняя работу двух, чтобы доля потерянных требований осталась на прежнем уровне? На сколько требуется повысить интенсивность обслуживания двум работникам, чтобы доля потерянных заявок была менее 10 %?

6. На диспетчерском пункте дежурят 4 приемщика заявок на ремонт телерадиоаппаратуры. Заявки принимаются по телефону. В диспетчерский пункт поступает простейший поток заявок с плотностью l = 3 (заявки в минуту). Вызов, поступивший в момент, когда все приемщики заняты, получает отказ. Средняя длительность оформления заявки 2 минуты. Найти все характеристики СМО: 1) вероятности состояний системы р 0 , р 1 ;

2) вероятность обслуживания заявки р обс ; 3)среднее число занятых каналов ; 4) вероятность занятости канала; 5) среднее время простоя канала.

С какой интенсивностью должны работать 2 работника, выполняя работу четырех, чтобы доля потерянных требований осталась на прежнем уровне?

7. Библиотека принимает заявки на книги по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заявок – 70, среднее время оформления заявки – 2 минуты. Определить показатели СМО (задача 6). Найти, как изменятся параметры системы, если заявки будут приниматься по двум телефонам и при этом доля потерянных заявок уменьшится в 2 раза по сравнению с прежним уровнем. Как изменится время пребывания заявки в системе?

8. Пусть в СМО с отказом поступает в среднем 15 заявок в час. Среднее время обслуживания заявки составляет 12 мин. За обслуживание заявки клиент платит 80 рублей. Содержание одного канала обслуживания обходится 100 рублей в час. Определить число каналов обслуживания, при которых прибыль максимальна.

Литература

1. Венцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1962.

2. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. М., 1969.

3. Гнеденко Б.В. Лекции по теории массового обслуживания. Изд. КВИРТУ, 1960.

4. Н.Ш.Кремер Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. 2-е издание. Москва, 2003, 2006 ЮНИТИ.