Переход к стандартной форме злп. Приведение одночлена к стандартному виду, примеры, решения

⁰

Понятие многочлена

Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:

здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.

Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.

Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.

Число ноль - это нулевой многочлен.

Стандартный вид многочлена

Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.

Пример многочлена в стандартном виде:

здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.

Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:

здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:

Ещё пример:

Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:

Степень многочлена

Что такое степень многочлена?

Степень многочлена определение:

Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.

Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.

Другой пример. Какова степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 +1? Степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а его степень равна 9-ти.

Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.

Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.

СЗЛП - задача линейного программирования вида ax ≥ b или ax ≤ b . где a - матрица коэффициентов, b - вектор ограничений.
Математическая модель ЗЛП называется стандартной , если ограничения в ней представлены в виде линейных неравенств, а целевая функция минимизируется или максимизируется.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для приведения КЗЛП к СЗЛП путем преобразования матрицы a к единичной. При этом возможны две стандартных формы:

Первая стандартная форма ax ≥ b , F(X) → min.
Вторая стандартная форма ax ≤ b , F(X) → max.

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word .

Как привести каноническую задачу линейного программирования к стандартной форме
Привести к канонической форме

Пример . Дана основная задача линейного программирования. При помощи элементарных преобразований матрицы коэффициентов системы ограничений привести задачу к стандартному виду и решить ее геометрическим методом или доказать, что она не имеет оптимального плана.

Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

1	6	-1	-1	-1	2
5	-12	-1	2	0	-4
3	-1	-2	0	-1	-7

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной выбираем x 1 .
Разрешающий элемент РЭ=1.
Строка, соответствующая переменной x 1 , получена в результате деления всех элементов строки x 1 на разрешающий элемент РЭ=1

В остальных клетках столбца x 1 записываем нули.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

1: 1	6: 1	-1: 1	-1: 1	-1: 1	2: 1
5-(1 5):1	-12-(6 5):1	-1-(-1 5):1	2-(-1 5):1	0-(-1 5):1	-4-(2 5):1
3-(1 3):1	-1-(6 3):1	-2-(-1 3):1	0-(-1 3):1	-1-(-1 3):1	-7-(2 3):1

2. В качестве базовой переменной выбираем x 2 .
Разрешающий элемент РЭ=-42.
Строка, соответствующая переменной x 2 , получена в результате деления всех элементов строки x 2 на разрешающий элемент РЭ=-42
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x 2 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

1-(0 6):-42	6-(-42 6):-42	-1-(4 6):-42	-1-(7 6):-42	-1-(5 6):-42	2-(-14 6):-42
0: -42	-42: -42	4: -42	7: -42	5: -42	-14: -42
0-(0 -19):-42	-19-(-42 -19):-42	1-(4 -19):-42	3-(7 -19):-42	2-(5 -19):-42	-13-(-14 -19):-42

Получаем новую матрицу:

1	0	-3 / 7	0	-2 / 7	0
0	1	-2 / 21	-1 / 6	-5 / 42	1 / 3
0	0	-17 / 21	-1 / 6	-11 / 42	-20 / 3

3. В качестве базовой переменной выбираем x 3 .
Разрешающий элемент РЭ= -17 / 21 .
Строка, соответствующая переменной x 3 , получена в результате деления всех элементов строки x 3 на разрешающий элемент РЭ= -17 / 21
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x 3 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

1-(0 -3 / 7): -17 / 21	0-(0 -3 / 7): -17 / 21	-3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21	0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21	-2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21	0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21
0-(0 -2 / 21): -17 / 21	1-(0 -2 / 21): -17 / 21	-2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21	-1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21	-5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21	1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21
0: -17 / 21	0: -17 / 21	-17 / 21: -17 / 21	-1 / 6: -17 / 21	-11 / 42: -17 / 21	-6 2 / 3: -17 / 21

Получаем новую матрицу:

1	0	0	3 / 34	-5 / 34	60 / 17
0	1	0	-5 / 34	-3 / 34	19 / 17
0	0	1	7 / 34	11 / 34	140 / 17

Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (1,2,3).
Соответствующие уравнения имеют вид:
x 1 + 3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 = 3 9 / 17
x 2 - 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 = 1 2 / 17
x 3 + 7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 = 8 4 / 17
Выразим базисные переменные через остальные:
x 1 = - 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17
x 2 = 5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17
x 3 = - 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = - 3(- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17) + 13(5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17) + (- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17) - 2x 4
или

Система неравенств:
- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17 ≥ 0
5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17 ≥ 0
- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 ≤ 3 9 / 17
- 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 ≤ 1 2 / 17
7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 ≤ 8 4 / 17
F(X) = - 1 / 34 x 4 + 13 / 34 x 5 +12 3 / 17 → max
Упростим систему.
3x 1 - 5x 2 ≤ 120
- 5x 1 - 3x 2 ≤ 38
7x 1 + 11x 2 ≤ 280
F(X) = - x 1 + 13x 2 +414 → max

На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Приведение многочлена к стандартному виду. Типовые задачи

Напомним основное определение: многочлен - это сумма одночленов. Каждый одночлен, входящий в состав многочлена как слагаемое называется его членом. Например:

Двучлен;

Многочлен;

Двучлен;

Поскольку многочлен состоит из одночленов, то первое действие с многочленом следует отсюда - нужно привести все одночлены к стандартному виду. Напомним, что для этого нужно перемножить все численные множители - получить численный коэффициент, и перемножить соответствующие степени - получить буквенную часть. Кроме того, обратим внимание на теорему о произведении степеней: при умножении степеней показатели их складываются.

Рассмотрим важную операцию - приведение многочлена к стандартному виду. Пример:

Комментарий: чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести к стандартному виду все одночлены, входящие в его состав, после этого, если есть подобные одночлены - а это одночлены с одинаковой буквенной частью - выполнить действия с ними.

Итак, мы рассмотрели первую типовую задачу - приведение многочлена к стандартному виду.

Следующая типовая задача - вычисление конкретного значения многочлена при заданных численных значениях входящих в него переменных. Продолжим рассматривать предыдущий пример и зададим значения переменных:

Комментарий: напомним, что единица в любой натуральной степени равна единице, а ноль в любой натуральной степени равен нулю, кроме того, напомним, что при умножении любого числа на ноль получаем ноль.

Рассмотрим ряд примеров на типовые операции приведения многочлена к стандартному виду и вычисление его значения:

Пример 1 - привести к стандартному виду:

Комментарий: первое действие - приводим одночлены к стандартному виду, нужно привести первый, второй и шестой; второе действие - приводим подобные члены, то есть выполняем над ними заданные арифметические действия: первый складываем с пятым, второй с третьим, остальные переписываем без изменений, так как у них нет подобных.

Пример 2 - вычислить значение многочлена из примера 1 при заданных значениях переменных:

Комментарий: при вычислении следует вспомнить, что единица в любой натуральной степени это единица, при затруднении вычислений степеней двойки можно воспользоваться таблицей степеней.

Пример 3 - вместо звездочки поставить такой одночлен, чтобы результат не содержал переменной :

Комментарий: независимо от поставленной задачи, первое действие всегда одинаково - привести многочлен к стандартному виду. В нашем примере это действие сводится к приведению подобных членов. После этого следует еще раз внимательно прочитать условие и подумать, каким образом мы можем избавиться от одночлена . очевидно, что для этого нужно к нему прибавить такой же одночлен, но с противоположным знаком - . далее заменяем звездочку этим одночленом и убеждаемся в правильности нашего решения.

Любая десятичная дробь может быть записана в виде a ,bc ... · 10 k . Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.

Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись - это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.

Для начала - небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок « »). Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:

Задача. Найдите значение выражения: 25,81 · 10; 0,00005 · 1000; 8,0034 · 100.

Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:

Для первого выражения: 25,81 · 10.

Значащие части: 25,81 → 2581 (сдвиг вправо на 2 цифры); 10 → 1 (сдвиг влево на 1 цифру);
Умножаем: 2581 · 1 = 2581;
Суммарный сдвиг: вправо на 2 − 1 = 1 цифру. Выполняем обратный сдвиг: 2581 → 258,1.

Для второго выражения: 0,00005 · 1000.

Значащие части: 0,00005 → 5 (сдвиг вправо на 5 цифр); 1000 → 1 (сдвиг влево на 3 цифры);
Умножаем: 5 · 1 = 5;
Суммарный сдвиг: вправо на 5 − 3 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 5 → ,05 = 0,05.

Последнее выражение: 8,0034 · 100.

Значащие части: 8,0034 → 80 034 (сдвиг вправо на 4 цифры); 100 → 1 (сдвиг влево на 2 цифры);
Умножаем: 80 034 · 1 = 80 034;
Суммарный сдвиг: вправо на 4 − 2 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 80 034 → 800,34.

Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:

25,81 · 10 1 = 258,1;
0,00005 · 10 3 = 0,05;
8,0034 · 10 2 = 800,34.

Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10 k (где k > 0) равносильно сдвигу десятичной точки вправо на k разрядов. Именно вправо - ведь число увеличивается.

Аналогично, умножение на 10 −k (где k > 0) равносильно делению на 10 k , т.е. сдвигу на k разрядов влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008: 10; 1,447: 100;

Во всех выражениях второе число - степень десятки, поэтому имеем:

2,73 · 10 = 2,73 · 10 1 = 27,3;
25,008: 10 = 25,008: 10 1 = 25,008 · 10 −1 = 2,5008;
1,447: 100 = 1,447: 10 2 = 1,447 · 10 −2 = ,01447 = 0,01447.

Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например: 137,25 = 13,725 · 10 1 = 1,3725 · 10 2 = 0,13725 · 10 3 = ...

Стандартный вид числа - это выражения вида a ,bc ... · 10 k , где a , b , c , ... - обычные цифры, причем a ≠ 0. Число k - целое.

8,25 · 10 4 = 82 500;
3,6 · 10 −2 = 0,036;
1,075 · 10 6 = 1 075 000;
9,8 · 10 −6 = 0,0000098.

Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.

Переход к стандартному виду

Алгоритм перехода от обычной десятичной дроби к стандартному виду очень прост. Но перед тем как его использовать, обязательно повторите, что такое значащая часть числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей »). Итак, алгоритм:

Выписать значащую часть исходного числа и поставить после первой значащей цифры десятичную точку;
Найти образовавшийся сдвиг, т.е. на сколько разрядов сместилась десятичная точка по сравнению с исходной дробью. Пусть это будет число k ;
Сравнить значащую часть, которую мы выписали на первом шаге, с исходным числом. Если значащая часть (с учетом десятичной точки) меньше исходного числа, дописать множитель 10 k . Если больше - дописать множитель 10 −k . Это выражение и будет стандартным видом.

Задача. Запишите число в стандартном виде:

9280;

125,05;

0,0081;

17 000 000;

1,00005.

9280 → 9,28. Сдвиг десятичной точки на 3 разряда влево, число уменьшилось (очевидно, 9,28 < 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
125,05 → 1,2505. Сдвиг - на 2 разряда влево, число уменьшилось (1,2505 < 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
0,0081 → 8,1. В этот раз сдвиг произошел вправо на 3 разряда, поэтому число увеличилось (8,1 > 0,0081). Результат: 8,1 · 10 −3 ;
17000000 → 1,7. Сдвиг - на 7 разрядов влево, число уменьшилось. Результат: 1,7 · 10 7 ;
1,00005 → 1,00005. Сдвига нет, поэтому k = 0. Результат: 1,00005 · 10 0 (бывает и такое!).

Как видите, в стандартном виде представляются не только десятичные дроби, но и обычные целые числа. Например: 812 000 = 8,12 · 10 5 ; 6 500 000 = 6,5 · 10 6 .

Когда применять стандартную запись

По идее, стандартная запись числа должна сделать дробные вычисления еще проще. Но на практике заметный выигрыш получается только при выполнении операции сравнения. Потому что сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:

Сравнить степени десятки. Наибольшим будет то число, у которого эта степень больше;
Если степени одинаковые, начинаем сравнивать значащие цифры - как в обычных десятичных дробях. Сравнение идет слева направо, от старшего разряда к младшему. Наибольшим будет то число, в котором очередной разряд окажется больше;
Если степени десятки равны, а все разряды совпадают, то сами дроби тоже равны.

Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.

Замечательно свойство дробей, записанных в стандартном виде, заключается в том, что к их значащей части можно приписывать любое количество нулей - как слева, так и справа. Аналогичное правило существует для других десятичных дробей (см. урок «Десятичные дроби »), но там есть свои ограничения.

Задача. Сравните числа:

8,0382 · 10 6 и 1,099 · 10 25 ;

1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4 ;

2,215 · 10 11 и 2,64 · 10 11 ;

−1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 ;

−1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 .

8,0382 · 10 6 и 1,099 · 10 25 . Оба числа положительные, причем у первого степень десятки меньше, чем у второго (6 < 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4 . Числа снова положительные, причем степень десятки у первого из них больше, чем у второго (3 > −4). Следовательно, 1,76 · 10 3 > 2,5 · 10 −4 ;
2,215 · 10 11 и 2,64 · 10 11 . Числа положительные, степени десятки совпадают. Смотрим на значащую часть: первые цифры тоже совпадают (2 = 2). Различие начинается на второй цифре: 2 < 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
−1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 . Это отрицательные числа. У первого степень десятки меньше (3 < 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 > −3,28 · 10 4 ;
−1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 . Снова отрицательные числа, причем степени десятки совпадают. Также совпадают и первые 4 разряда значащей части (1001 = 1001). На 5 разряде начинается отличие, а именно: 5 > 4. Поскольку исходные числа отрицательные, заключаем: −1,0015 · 10 −8 < −1,001498 · 10 −8 .

Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 51) и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида - в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.

Рассмотрим примеры, в которых целое выражение нужно привести к стандартному виду многочлена.

Решение. Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена. Получим После приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида

Решение. Если перед скобками стоит знак «плюс, то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим:

Решение. Если перед скобками стоит зиак «минус», то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых» заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом паскрытия скобок, получим:

Решение. Произведение одночлена и многочлена согласно распределительному закону равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена. Получаем

Решение. Имеем

Осталось привести подобные члены (они подчеркнуты). Получим:

53. Формулы сокращенного умножения.

В некоторых случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:

Эти тождества называют формулами сокращенного умножения,

Рассмотрим примеры, в которых нужно преобразовать заданное выражение в миогочлеи стандартного вида.

Пример 1. .

Решение. Воспользовавшись формулой (1), получим:

Пример 2. .

Решение.

Пример 3. .

Решение. Воспользовавшись формулой (3), получим:

Пример 4.

Решение. Воспользовавшись формулой (4), получим:

54. Разложение многочленов на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких сомножителей - многочленов или одпочленов. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители,

1) Вынесение общего множителя за скобку. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона (для наглядности нужно лишь переписать этот закон «справа налево»):

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение. .

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена - целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

2) Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1) - (7) из п. 53, будучи прочитанными «справа налево, во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.

Пример 2. Разложить на множители .

Решение. Имеем . Применив формулу (1) (разность квадратов), получим . Применив

теперь формулы (4) и (5) (сумма кубов, разность кубов), получим:

Пример 3. .

Решение. Сначала вынесем за скобку общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а и b входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим:

3) Способ группировки. Он основан на том, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается однн и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки. Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители.

Пример 4. .

Решение. Произведем группировку следующим образом:

В первой группе вынесем за скобку общий множитель во второй - общий множитель 5. Получим Теперь многочлен как общий множитель вынесем за скобку: Таким образом, получаем:

Пример 5.

Решение. .

Пример 6.

Решение. Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В нашем примере целесообразно представить в виде суммы Получим

Пример 7.

Решение. Прибавим и отнимем одночлен Получим

55. Многочлены от одной переменной.

Многочлен , где a, b - числа переменная, называется многочленом первой степени; многочлен где а, b, с - числа переменная, называется многочленом второй степени или квадратным трехчленом; многочлен где а, b, с, d - числа переменная называется многочленом третьей степени.

Вообще если о, переменная, то многочлен

называется лсмогочленол степени (относительно х); , m-члены многочлена, коэффициенты, старший член многочлена, а - коэффициент при старшем члене, свободный член многочлена. Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т. е. степени переменной постепенно уменьшаются, в частности, на первом месте стоит старший член, на последнем - свободный член. Степень многочлена - это степень старшего члена.

Например, многочлен пятой степени, в котором старший член, 1 - свободный член многочлена.

Корнем многочлена называют такое значение при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 является корнем многочлена так как