Глава iii. конформные и квазиконформные отображения

⁰

Основная задача теории конформных отображений - построить конформное отображение заданной области на некоторую заданную область плоскости переменной w.

Непрерывное отображение области 2-мерного евклидова пространства в 2-мерное евклидово пространство называется конформным в точке, если оно в этой точке обладает свойствами постоянства растяжений и сохранения углов. Свойство постоянства растяжений в точке при отображении состоит в том, что отношение расстояния между образами и точек u к расстоянию между и стремится к определенному пределу, когда стремится к произвольным образом; число называется коэффициентом растяжения в точке при рассматриваемом отображении. Свойство сохранения (консерватизма) углов в точке при отображении состоит в том, что любая пара непрерывных кривых, расположенных в и пересекающихся в точке под углом б (т.е. имеющих касательные в точке, образующие между собой угол б), при рассматриваемом отображении переходит в пару непрерывных кривых, пересекающихся в точке под тем же углом б. Непрерывное отображение области называется конформным, если оно конформно в каждой точке этой области.

По определению, конформное отображение области обязано быть непрерывным и конформным лишь во внутренних точках, и если говорят о конформном отображении замкнутой области, то, как правило, имеют в виду непрерывное отображение замкнутой области, конформное в ее внутренних точках.

Конформные отображенияобласти 2-х мерного евклидова пространства в 2-х мерное евклидово пространство удобно рассматривать как отображение области плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного; соответственно отображение является комплекснозначной функцией комплексного переменного. При этом если в точке отображение сохраняет углы, то криволинейные углы с вершиной при этом отображении либо сохраняют свою абсолютную величину и знак, либо сохраняют свою абсолютную величину, изменяя знак на противоположный. В первом случае говорят, что отображение в точке является конформным отображением первого рода, во втором - конформным отображением второго рода. Если функция задает конформное отображение второго рода в точке, то комплексно сопряженная функция w= задает конформное отображение первого рода в точке, и наоборот. Поэтому изучаются лишь конформные отображения первого рода, и именно их обычно имеют в виду, когда говорят о конформном отображении, не уточняя их род. Если отображение конформно в точке, то при существует конечный предел отношения, т. е. существует производная. Верно и обратное. Таким образом, если существует то каждый бесконечно малый вектор с началом в точкепри отображении преобразуется с помощью линейной функции т.е. растягивается в раз, поворачивается на угол arg и параллельно сдвигается на вектор.

В теории плоских конформных отображений и ее приложениях принципиальным является вопрос о возможности однолистно и конформно отобразить одну заданную область на другую, а в практических приложениях - вопрос о возможности это сделать посредством сравнительно простых функций. Первую задачу для случая односвязных областей, границы которых не пусты и не вырождаются в точки, решает в положительном смысле теорема Римана о конформном отображении. Вторая задача для некоторых областей специального вида, решается применением элементарных функций комплексного переменного.

Основные принципы теории конформных отображений о отображении одной области на другую

Теорема Римана. Пусть - односвязная область расширенной комплексной плоскости, граница которой содержит не менее двух точек. Тогда:

1) существует аналитическая в функция конформно отображающая на единичный круг
2) эту функцию можно выбрать так, что будут выполнятся условия

где заданные точки, заданное действительное число. При этом функция условиями (1) определяются однозначно.

Две односвязные области, каждая из которых имеет не менее двух граничных точек, можно конформно отобразить одну на другую. Важным теоретическим положением, характеризующим поведение конформного отображения вблизи границы области, является следующий принцип соответствия границ.

Теорема 1. Пусть и - односвязные области, ограниченные простыми кусочно гладкими контурами и, а функция однолистно и конформно отображает область на область. Тогда:

1) функция, имеет непрерывное продолжение на границу области, т.е. ее можно так доопределить в точках контура, что получится функция, непрерывная в замыкании;
2) функция, доопределяется на границе, отображает контур взаимно однозначно на контур, причем так, что положительному обходу контура будет соответствовать положительный обход контура.

Теорема 2. Пусть функция аналитична в односвязной области, ограниченной кусочно гладким контуром, и непрерывна в замыкании этой области. Если функция осуществляет взаимно однозначное отображение контура на некоторый простой кусочно гладкий контур, то отображает область конформно и однолистно на область, ограниченную контуром, причем обходу контура в положительном направлении соответствует обход контура также в положительном направлении.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

1) для каждой точки существует только единственная такая, что, т.е. функция имеет только один нуль в области;
2) для каждой точки не существует точки такой, что т.е. функция не принимает значения ни при каком

Докажем первое утверждение. По условию теоремы функция не обращается в нуль на контуре, т.к. при точка попадает на контур, а лежит в и не может принадлежать. Значит, согласно принципу аргумента, число нулей функции в области равно

Так как точка лежит в области, ограниченной контуром, то, где знак плюс соответствует положительному направлению обхода контура. Отрицательное значение в данном случае невозможно, так как свидетельствует о наличии в области полюсов функции а по условию аналитична в Следовательно, и уравнение в области имеет только одно решение.

Рассмотрим второе утверждение. Если точка расположена во внешности контура, то и уравнение не имеет решений в области А это означает, что всякая внутренняя точка области при конформном и однолистностном отображении переходит во внутреннюю точку области. Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Теоремы 1и 2 верны и для областей и расширенной комплексной плоскости, ограниченных простыми кусочно гладкими контурами и.

Теорема 3 (принцип сохранения области) Если функция аналитична в области и не является постоянной, то образ области также является областью.

Для доказательства теоремы требуется показать, что множество линейно связанное и открытое. Так как отображение в силу аналитичности является непрерывным отображением, то образ любого линейно связанного множества при этом отображении является линейно связанным множеством. Следовательно, линейно связанное множество.

Докажем теперь, что открытое множество, т.е. любая точка входит в вместе с некоторой своей окрестностью. Пусть один из прообразов точки. Если, то, согласно теореме об обратной функции, в некоторой окрестности точки определена функция, обратная функция к. Следовательно, все точки этой окрестности являются образами при отображении и она целиком принадлежит. Если, то к этому же выводу приходим, опираясь на теорему (Об обратной функции).

Теорема 4 (принцип максимума модуля). Если функция аналитическая в области, а ее модуль достигает локального максимума в некоторой точке, то постоянна в.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть. Для точки выберем произвольную окрестность, целиком принадлежащую области, и предположим, что не является постоянной в рассматриваемой окрестности. Согласно принципу сохранения области, образ круга при отображении является областью. Значит, все точки некоторой окрестности точки являются образами точек круга. В этой окрестности выберем точку, для которой (если, то можно взять

а если, то в качестве можно взять любую точку указанной окрестности). Для этой точки имеем > Поскольку окрестность точки можно выбрать сколь угодно малого радиуса, заключаем, что точка не является точкой локального максимума функции.

Итак, если функция не является постоянной в окрестности точки, то не имеет максимума в точке. Если же достигает максимума в некоторой точке области, то функция постоянна в некоторой окрестности точки, т.е. при. Согласно теореме о единственности аналитической функции, аналитические функции и совпадают в области. Другими словами, функция постоянна в.

Теорема 5. Если функция аналитична в ограниченной области и непрерывна на замыкании этой области, то функция достигает наибольшего значения на границе области.

Действительно, если функция постоянна в, то в силу непрерывности она постоянна в и утверждение теоремы очевидно.

Если же не является постоянной в, то, согласно теореме 4, функция не может достигать наибольшего значения в области, т.к. в противном случае она имела бы в точку локального максимума. Но, будучи непрерывной на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего значения: это может произойти только на границе области.

Теорема 6. Если функция аналитична в области, не имеет в нулей и ее модуль достигает в локального минимума, то постоянна в этой области.

Теорема 7 (лемма Шварца). Если аналитическая в круге функция удовлетворяет условиям, то и, z. При этом равенство или возможно хотя бы в одной точке z 0 лишь тогда, когда

Доказательство. В силу того, что точка является нулем функции, эту функцию можно представить в виде, где - аналитическая функция в, причем. Рассмотрим круг, ограниченный окружностью Функция аналитична в и непрерывна в. Поэтому, согласно теореме 5, она достигает наибольшего значения на границе. При этом при, так как по условию теоремы. Следовательно, всюду в имеем.

Предположим, что в некоторой точке выполнено неравенство. Выберем r<1 так, что. Тогда и, следовательно, . Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле всюду в. В частности, в.

Если, то функция достигает максимума в точке, равного единице. Аналогично равенство означает, что достигает максимума в точке, равного единице. И в том и в другом случае, согласно принципу максимума модуля, функция является постоянной, причем. Следовательно, и.

Теорема 8. Пусть функция гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замыкании этой области. Если непостоянна в, то она достигает наибольшего и наименьшего значений только на границе этой области.

Электродные системы со сложными двумерными электростатическими полями могут быть рассчитаны методом конформных отображений. Основная идея этого метода состоит в замене сложных полей – простыми полями, для которых решения известны. К таким простым полям относятся поля плоского или цилиндрического конденсатора вдали от их краев. Метод конформных отображений является практическим применением теории функции комплексного переменного. Конформное отображение – это непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых (б.м.) фигур. Для конформного отображения выполняется свойство постоянство углов и постоянство растяжений. Название происходит от позднелатинского – conformis – подобный, непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур: например, б.м. круг остается б.м. кругом; углы между линиями в точке их пересечения друг с другом не изменяются. Область применения метода конформных отображений для расчета электрических полей – двумерные электростатические поля.

Конформное преобразование отображает каждую точку z =x +j×y реального расчетного поля, описывающегося комплексной плоскостью, в точку w =u +j×v другой комплексной плоскости, с более простой конфигурацией поля. Основная сложность метода – нахождение вида функции для данной реальной электродной системы. На практике, при попытках найти функцию конформного отображения, используют либо специальные каталоги конформных отображений , либо ищут ее посредством последовательных проб.

Предположим, что мы знаем вид некоторого преобразования z =f(w) или обратного преобразования w =f(z) , которое устанавливает взаимно однозначное соответствие между двумя комплексными плоскостями со сложной (z ) и простой (w ) конфигурацией поля. Коэффициентом преобразования называется отношение dw/dz .

здесь использованы соотношения:

, . (2.94)

Аналогично можно записать:

. (2.95)

Два комплексных числа равны, если у них равны порознь действительные и мнимые части. Сравнивая значения коэффициента преобразования, приведенные в выражениях (2.93) и (2.95) можно записать:

Выражения (2.96) известны под названием условий Коши-Римана. Используя различные формы представления комплексных чисел, коэффициент преобразования можно записать в виде:

где - коэффициент изменения длины отрезков при преобразовании, а tg(j) = b/a (j - угол поворота отрезков при преобразовании). Из соотношений Коши-Римана, получим:

(2.99)

Из соотношений (2.97) – (2.98) следует, что коэффициент конформного преобразования М является относительной напряженностью электрического поля, а каждая из функций u и v может быть выбрана в качестве потенциала на новой комплексной плоскости w =f(u,v) . Этот вывод может быть проверен другим способом. Если функции u и v могут быть выбраны в качестве потенциала, то каждая из них должна удовлетворять уравнению Лапласа: Du =0 и Dv =0. Это можно проверить непосредственным повторным дифференцированием условий Коши-Римана. Продифференцируем первое условие по х , а второе по у ; сложим результат; перенесем в левую часть записи все значащие производные и оставим справа нуль:

; ; . (2.100)

Из полученного выражения следует, что функция u удовлетворяет уравнению Лапласа (1.25), (1.30) и может быть принята за потенциал. Продифференцируем 1-е условие по у , а 2-е - по х :

; ; , (2.101)

т.е. и функция v также удовлетворяет уравнению Лапласа и также может быть принята за потенциал. Поскольку силовые и эквипотенциальные линии на плоскости z =f(x,y) взаимно перпендикулярны, а конформное преобразование оставляет неизменными углы между линиями в точке их пересечения, то из (2.97) ¸ (2.101) следует, что если функция u принята, например, за потенциал, то тогда линия с v =const – является силовой линией. Если же v – потенциал, то u =const – силовая линия. Какая из функций u или v является потенциалом, а какая силовой линией, следует определять из анализа конформного преобразования поля на исходной плоскости z =f(x,y) в поле на плоскости w =f(u,v). Любая функция z=f(w) (или w=f(z)) дает нам решение какой-либо задачи электростатики. Можно придумать произвольную функцию, найти для неё решения, а затем к найденным решениям подобрать соответствующую электродную систему. Таким методом (задом наперед) было найдено множество решений электростатических задач.

При нахождении напряженности электрического поля методом конформных отображений следует учитывать следующее важное обстоятельство. Картина электрического поля полностью определяется геометрическими параметрами электродной системы независимо от пространственного масштаба и приложенного напряжения. Поэтому поле может быть описано напряженностью, отнесенной к единице напряжения или длины. Выражения (2.97)-(2.98) представляют собой именно такую относительную напряженность. Для получения реальной напряженности необходимо учесть действительно приложенное напряжение и фактическое расстояние между электродами. Это делается умножением выражений (2.97)-(2.98) на коэффициент масштаба К м . Пусть расстояние между электродами в плоскости w равно u 2 -u 1 (v 2 -v 1), если за эквипотенциальные линии приняты функции u или v , соответственно. Тогда коэффициент масштаба принимает вид:

К м = U /(u 2 -u 1) или К м = U /(v 2 -v 1). (2.102)

Цилиндрический конденсатор. Хотя расчет электростатического поля цилиндрического конденсатора приведен в §2.5, рассмотрим его в качестве примера применения метода конформных отображений. Поле цилиндрического конденсатора (поле двух концентрических окружностей) на плоскости ху может быть отображено в однородное поле (поле плоского конденсатора) следующим преобразованием:

z = e w ; x + j×y = e u+jv = e u (Cosv +j ×Sinv ).

Произведем разделение действительных и мнимых частей:

Прямая линия на реальной плоскости z , проходящая через начало координат с углом наклона к оси х равным v =const переходит в прямую линию на плоскости w , параллельную оси абсцисс.

При u = const на плоскости w получается система прямых линий, параллельных оси ординат. На плоскости z они соответствуют системе концентрических окружностей. Очевидно, что линии с u = const следует принять за потенциальные линии, а v – за силовые линии поля. Расчет напряженности будем проводить по формуле (2.97):

Длина преобразуемого малого отрезка при переносе с плоскости z на плоскость w изменяется в 1/r раз, где r – расстояние до центра окружностей. Чем дальше от центра, тем меньше коэффициент изменения длин отрезков. Переносимый отрезок поворачивается на угол j = arctg(-y/x ). Угол между лучом, идущим из начала координат в середину преобразуемого отрезка, и осью х становится равным нулю. Все радиусы на z - плоскости превращаются на w - плоскости в линии параллельные оси u . Масштабный коэффициент

Напряженность

(2.103)

Полученная формула (2.103) совпадает, как и следовало ожидать в силу теоремы о единственности, с выражением (2.18), полученным с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.

Поле внутри прямого угла, образованного двумя плоскостями

В качестве другого примера применения метода конформных отображений рассмотрим поле, образованное двумя бесконечными проводящими взаимно перпендикулярными плоскостями. Очевидно, что такая электродная система имеет трансляционную симметрию с бесконечно малым шагом трансляции вдоль плоскостей и плоскость симметрии, проходящую под углом 45° к каждой из плоскостей. Такое поле сводится к двумерному полю, а для определения его параметров достаточно рассчитать характеристики поля между одной из плоскостей и плоскостью симметрии. Для двумерных полей может быть применен метод конформного отображения. Поле в z – плоскости, перпендикулярной линии пересечения заряженных плоскостей, показано на рис.2.20а. За оси х и у приняты линии пересечения заряженных плоскостей с z – плоскостью. Поле внутри прямого угла, образованного двумя плоскостями, преобразуется в однородное поле преобразованием w = z 2 . Покажем это:

w = u +jv = z 2 = (x +jy ) 2 = x 2 + j 2xy – y 2 ; u = x 2 – y 2 ; v = + j 2xy .

При u = const линии, параллельные оси v на плоскости w , преобразуются в семейство равнобочных гипербол x 2 – y 2 = а 2 на плоскости z . Ось 0х является действительной (фокальной) осью гипербол, а ось у её мнимой осью. Прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к оси х (u = 0; y = x ), представляет собой линию пересечения z – плоскости с плоскостью симметрии и является асимптотой гипербол. Угол пересечения гипербол с осью х равен 90°, т.е. линии функции u =х 2 -у 2 перпендикулярны эквипотенци альной линии х (поверхности заряженной плоскости х ).

Функции v = 2xy при различных значениях v описывают другое семейство равнобочных гипербол, у которых оси х и у являются асимптотами, а линия у = х является фокальной осью. На рис.2.20а представлены гиперболы с v = 4, 16, 36. При v = 0 гипербола вырождается в оси координат х и у , которые совпадают с заряженными плоскостями. Поскольку поверхность заряженных плоскостей является поверхностью одинакового потенциала, очевидно, что именно функция v должна быть принята за потенциальную функцию на плоскости w . В этом случае функция u представляет собой силовую функцию. Поле двух бесконечных взаимно перпендикулярных плоскостей (оси х и у на z – плоскости) превращается в однородное поле бесконечной заряженной плоскости (ось v на w – плоскости).

Конформное преобразование, сохраняя форму бесконечно малых фигур, может существенно изменить форму конечных фигур. В качестве примера такого изменения приведено преобразование квадрата abcd c координатами а (0,8;0,8), b (0,8;4), c (4;4), d (4;0,8) на z - плоскости в криволинейный четырехугольник a¢b¢c¢d¢ с координатами а¢ (0;1,28), b¢ (-15,36;6,4), c¢ (0;32), d¢ (15,36;6,4) на w - плоскости.

Определим относительную напряженность электростатического поля заряженных плоскостей рис.2.20а. Из двух формул (2.97) и (2.98) для определения напряженности будем использовать (2.98), поскольку именно функция v = 2xy описывает систему эквипотенциальных поверхностей (линий). Линейный коэффициент преобразования:

, (2.104)

Длина преобразуемого малого отрезка при переносе с z - плоскости на w - плоскость увеличивается в 2r раз, где r =х 2 +у 2 – расстояние на z - плоскости от начала координат до центра отрезка. Переносимый отрезок поворачивается на угол j = arctg(y/x ). Происходит удвоение угла между лучом, идущим из начала координат в середину отрезка, и осью х . Масштабный коэффициент К м = U /(v 2 -v 1) = U /(2x 2 y 2 -2x 1 y 1). Напряженность поля определится умножением относительной напряженности на масштабный коэффициент: Е =E¢×K м . Пусть масштабный коэффициент равен К м =100 в/м. Определим напряженность поля в двух точках на заряженной плоскости: более близкой к углу пересечения плоскостей n 1(1;0) и отдаленной от него n 2 (5;0).

В/м, ×в/м.

Чем ближе к углу, тем меньше напряженность поля. Это результат можно было ожидать из картины поля рис.2.20: расстояние между эквипотенциальными линиями уменьшается при удалении от угла. Любое углубление (вмятина, впадина, каверна, трещина и т.п.) на поверхности электрода может быть приблизительно описано рассмотренной задачей. Тогда, учитывая результаты предыдущего параграфа, можно заключить: вблизи острия или выступа напряженность электрического поля повышается, а вблизи впадины или отверстия она слабеет. Аналогичная рис.2.20а картина поведения силовых и эквипотенциальных линий наблюдается вблизи точки ветвления поля от двух одноименных зарядов (§2.11).

Поле на краю плоского конденсатора (профиль Роговского)

Поместим начало координат на z - плоскости так, чтобы ось х была параллельна плоскостям обкладок конденсатора и находилась от них на одинаковом расстоянии a . Ось у перпендикулярна обкладкам и проходит через их края. Функцию отображения поля на краю плоского конденсатора в однородное поле получил Ю. К. Максвелл в 1881 г. в виде:

. (2.105)

После разделения переменных получаем:

При v I = 0, y = 0, . При v II = p, y = a, .

Очевидно, что за потенциальную функцию следует выбрать функцию v .

Учитывая, что К м =U/(v II -v I) = U /p

(2.106)

При u < -5 в области от v I =0 до v II =p получается практически однородное поле с напряженностью U/a . При u ®0 напряженность на электроде (v =v II = p)сильно возрастает и стремиться к бесконечности при u =0. Наибольшая напряженность в реальных системах не обращается в нуль:

. (2.107)

При конечной толщине обкладки конденсатора v ¹p и напряженность остается конечной. Величину v следует подбирать так, чтобы эквипотенциальная поверхность совпала с реальной поверхностью обкладки конденсатора. Пусть v = 174° = 29p/30, тогда отношение напряженности у края электрода к средней напряженности:

Видно, что у даже довольно тупого края напряженность резко возрастает. Это отношение можно сделать близким к единице, если поверхность электрода выполнить в виде эквипотенциальной поверхности с v £ p/2. Такой профиль электрода называется профилем Роговского (рис.2.21в). При расстоянии а = p (между обкладками расстояние 2p) он имеет координату v = p/2 и для него x = u +1; y = p/2+e u , т.е. у = p/2+e (х -1) (2.108)

Профиль Роговского имеет большое практическое значение в экспериментах по пробою в поле, близком к однородному для устранения краевого эффекта . В центре устройства с электродами Роговского имеет место однородное поле.

Поле расщепленных проводов.

В линиях электропередачи высокого напряжения фазовый провод расщепляют на несколько проводников в целях уменьшения потерь передаваемой мощности из-за коронного разряда. Для описания поля расщепленного

провода можно пользоваться функцией отображения , где n –

число отдельных проводников, на которые расщепляется фазовый провод. В качестве иллюстрации метода конформных отображений рассмотрим расщепление на два провода (n =2). (Заметим, что этот случай достаточно просто может быть решен методом изображений )

Пусть плоскость z перпендикулярна расщепленным проводам. Выберем ось х на z плоскости таким образом, чтобы она проходила через оси проводов. Пусть ось y проходит через середину отрезка между проводами. Решение существенно упрощается, если находить не функции x,y =f(u,v) , а функции u,v = f(x,y) . Разделяя действительную и мнимую части, получим:

Эквипотенциальным линиям соответствует функция u . Чтобы функция u равнялась нулю, логарифм должен быть равен нулю, а выражение в квадратных скобках должно быть равно 1. Тогда выполняется соотношение:

(х 2 +у 2) 2 = 2а 2 (х 2 -у 2)

Эта функция проходит через начало координат z - плоскости. При u в диапазоне -1,28 < u < 0 на z - плоскости наблюдаются круговые области справа и слева от оси у . При u £ -1.28 это практически точки с координатами х = -а и х = а . При u > 0 решениями являются замкнутые кривые, которые при возрастании u приближаются по форме к окружностям. Эти кривые представляют собой потенциальные линии поля двух цилиндров с зарядами одного знака, т.е. поля двух проводов с одним потенциалом. Наибольший интерес представляют точки на поверхности проводов р 2 и р 1 , в которых, соответственно, наблюдается наибольшая и наименьшая напряженность поля. Точка р 2 находится на поверхности провода в наиболее удаленной от другого провода точке и имеет координаты:

С учетом масштабного коэффициента для точки р 2 получаем:

. (2.109)

При s®0 электродная система превращается в систему двух коаксиальных цилиндров (b =0, s =0) (см.(2.18)):

Обычно для линии электропередачи p ³ 200.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите фундаментальные уравнения Лапласа в пространстве, однородном и плоскопараллельном поле.

2. Приведите формулы для расчета потенциала и напряженности поля точечного заряда. Определите емкость одиночного металлического шара.

3. Приведите формулы для расчета потенциала и напряженности поля одиночной бесконечно тонкого прямого провода бесконечной длины.

4. Где находятся область с максимальной напряженностью поля у коаксиального кабеля. Найдите оптимальный диаметр внутренней жилы при заданном размере внешней оболочки и разности потенциалов между ними. Определите погонную емкость коаксиального кабеля.

5. Для чего изготовляют кабели с изоляцией из различных типов диэлектриков?

6. Объясните конструкцию конденсаторного ввода и его назначение.

7. В чем состоит метод наложения, и что такое частичная емкость?

8. Что такое электрический диполь, каковы характеристики поля диполя? Для объяснения каких явлений используется понятие диполя?

9. В чем состоит сходство и различие полей двух одноименных и разноименных зарядов?

10. Графически изобразите поле двух разноименно заряженных бесконечных осей. Приведите формулы для расчета такой системы и укажите точки с максимальной напряженностью поля.

11. В чем состоит метод отражения? Объясните сущность метода на примере расчета параметров поля одиночного провода над землей.

12. Приведите методику расчета параметров поля точечного заряда, расположенного вблизи металлического шара.

13. Определите напряженность электрического поля на поверхности одиночного провода, расположенного над землей.

14. Как определить параметры поля трехфазной линии?

15. Определите максимальную напряженность шарового разрядника.

16. Приведите методику нахождения параметров поля, создаваемого проводником конечной длины.

17. Приведите методику нахождения параметров поля, создаваемого кольцевым зарядом.

18. Приведите методику нахождения параметров поля, создаваемого заряженным диском.

19. Как зависят параметры поля от радиуса закругления поверхности электрода? Для чего следует сглаживать и шлифовать поверхности электродов высокого напряжения?

20. Поясните сущность метода конформных отображений и перечислите последовательность расчета по этому методу.

21. Что такое профиль Роговского?

22. Как возникает объемный заряд, и как он изменяет характеристики электрического поля?

23. Какая из характеристик электрического поля является аналогом энергии?

24. Какая из характеристик электрического поля является аналогом силы?

25. С какой целью на линиях электропередач с номинальным напряжением 330 кВ и выше проводник одной фазы выполняют расщеплённым на несколько параллельных проводников? Укажите точки с максимальной напряженностью на расщеплённых проводах. Каковы расстояния между расщепленными проводниками?

26. Где напряженность электрического поля вблизи поверхности земли выше: в углублении (яме, овраге) или на возвышении (холм, бугор)? Ответ поясните графически и расчетом.

27. Как изменяется напряженность электрического поля на уровне земли под одноцепной линией электропередач с горизонтальным расположением фазных проводов?

28. Приведите алгоритм расчета емкости на землю трехфазной ВЛ.

29. С какой целью на аппаратах высокого напряжения ставятся кольцевые экраны?

30. Выведете формулы расчета параметров цилиндрического конденсатора.

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (конформное преобразование), отображение одной области (в плоскости или в пространстве) на другую область, сохраняющее углы между кривыми. Простейшими примерами конформного отображения являются преобразования подобия и повороты (ортогональные преобразования).

Конформное отображение применяется в картографии, когда требуется часть поверхности земного шара изобразить на плоскости (карте) с сохранением величин всех углов; примеры таких конформных отображений - стереографическая проекция и проекция Меркатора (смотри Картографические проекции). Особое место занимают конформные отображения одних областей плоскости на другие; их теория имеет существенные приложения в аэро- и гидромеханике, электростатике и теории упругости. Решение многих важных задач легко получается, когда область, для которой ставится задача, имеет достаточно простой вид (например, круг или полуплоскость). Если задача ставится для более сложной области, то оказывается достаточным конформно отобразить простейшую область на данную, чтобы получить решение новой задачи из известного решения. Именно таким путём шёл Н. Е. Жуковский, создавая теорию крыла самолёта.

Не всякие области плоскости допускают конформные отображения друг на друга. Так, например, круговое кольцо, ограниченное концентрическими окружностями, нельзя конформно отобразить на кольцо с другим отношением радиусов. Однако любые две области, каждая из которых ограничена лишь одной кривой (односвязные области), могут быть конформно отображены друг на друга (теорема Римана). Что касается областей, ограниченных несколькими кривыми, то такую область всегда можно конформно отобразить на область, ограниченную таким же числом параллельных между собой прямолинейных отрезков (теорема Гильберта) или окружностей (теорема Кёбе), но размеры и взаимное расположение этих отрезков или окружностей нельзя задать произвольно.

Если ввести комплексные переменные z и w в плоскостях оригинала и образа, то переменная w, рассматриваемая при конформном отображении как функция от z, является или аналитической функцией, или функцией, комплексно сопряжённой с аналитической. Обратно, любая функция, аналитическая в данной области и принимающая в разных точках области разные значения (такая функция называется однолистной), конформно отображает данную область на некоторую другую область. Поэтому изучение конформного отображения областей плоскости сводится к изучению однолистных аналитических функций.

Всякое конформное отображение трёхмерных областей переводит сферы и плоскости в сферы и плоскости и сводится или к преобразованию подобия, или к последовательно выполненным одному преобразованию инверсии и одному преобразованию подобия (теорема Лиувилля). Поэтому конформные отображения трёхмерных (и вообще многомерных) областей не имеют столь большого значения и таких разнообразных приложений, как конформные отображения двумерных областей.

Начало теории конформного отображения заложено Л. Эйлером (1777), обнаружившим связь функций комплексного переменного с задачей о конформном отображении частей сферы на плоскость (для построения географических карт). Изучение общей задачи конформного отображения одной поверхности на другую привело К. Гаусса (1822) к развитию общей теории поверхностей. Б. Риман (1851) сформулировал условия, при которых возможно конформное отображение одной области плоскости на другую, однако намеченный им подход удалось обосновать лишь в начале 20 века (А. Пуанкаре и К. Каратеодори). Исследования Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, открывших широкое поле приложений конформного отображения в аэро- и гидромеханике, послужили мощным стимулом для развития теории конформного отображения как большого раздела теории аналитической функций.

Лит.: Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М., 1966; Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. 2-е изд. М., 1968. Т. 2; Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 6-е изд. М., 2002.

Лекция №4.

Геометрически функция комплексного переменного w=f (z ) задает отображение некоторого множества z – плоскости на некоторое множество w -плоскости. Точка w ÎG называется образом точки z при отображении w=f (z ), точка z ÎD – прообразом точки w .

Если каждому z соответствует лишь одно значение w=f (z ), то функция называется однозначной (w=|z| , w= , w= Rez и т.д.) Если некоторым z соответствует более чем одно значение w , функция называется многозначной (w= Argz ).

Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то функция w =f (z ) называется однолистной в области D .

Другими словами, однолистная функция w =f (z ) взаимно однозначно отображает область D на G . При однолистном отображении w =f (z ) прообраз любой точки w ÎG состоит из единственного элемента: : . Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной w , определенную на G . Она обозначается и называется обратной функцией .

Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f (z ) называют многолистной в области D .

Если отображение w =f (z ) является многолистным на D (например, w =z n ), то в этом случае некоторым значениям w ÎG соответствует более, чем одна точка z ÎD : f (z )=w . Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.

Однозначная на области D функция w =f (z ) называется ветвью многозначной функции F , если значение f в любой точке z ÎD совпадает с одним из значений F в этой точке.

Для того, чтобы выделить однозначные ветви многозначной функции, поступают следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w =f (z ) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка z ÎD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w =f (z ). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .

Понятие о конформном отображении

Пример. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z =2i при отображении .

■ Находим производную и ее значение в данной точке .

Коэффициент растяжения k равен модулю производной: .

Угол поворота j равен аргументу производной. Точка лежит в четвертой четверти, следовательно, . ■

Пример 3.5. Определить, какая часть плоскости при отображении w =z 2 растягивается, а какая – сжимается.

■ Находим производную w ¢=2z . Коэффициент растяжения в любой точке z равен k =|w ¢(z )|=2|z |. Множество точек комплексной плоскости, для которых k >1, то есть 2|z |>1 или , образует часть плоскости, которая при отображении растягивается. Следовательно, при отображении w =z 2 внешность круга растягивается, а внутренняя часть - сжимается. ■

Отображение w =f (z ) называется конформным (т.е. сохраняет форму) в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжения окрестности точки.

Всякое отображение, устанавливаемое посредством аналитической функции f (z ) является конформным во всех точках, где .

Отображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке этой области.

Конформное отображение, при котором направление отсчета углов сохраняется, называется конформным отображением Ι рода . Конформное отображение, при котором направление отсчета углов меняется на противоположное, называется конформным отображением ΙΙ рода (например, ).

В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи.

Первая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении – прямая задача .

Вторая заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую заданную линию или область – обратная задача .

При решении прямой задачи учитывается, что образом точки z 0 при отображении w =f (z ) является точка w 0 , такая, что w 0 =f (z 0), то есть результат подстановки z 0 в f (z ). Поэтому для нахождения образа множества нужно решить систему, состоящую из двух соотношений. Одно из них задает отображающую функцию w =f (z ), другое – уравнение линии, если решается задача нахождения образа линии, или неравенство, определяющее множество точек прообраза, если решается задача отображения областей. В обоих случаях процедура решения сводится к исключению переменной z из двух заданных соотношений.

Правило 3.3. Для нахождения образа линии, заданной уравнением F (x ,y )=0 (или в явном виде y =j (x )), при отображении w =f (z ) необходимо:

1. Выделить действительную и мнимую части функции f (z ): u =Ref (z ), v =Imf (z ).

2. Из системы исключить х и у. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.4. Для нахождения образа данной линии при отображении w =f (z ) необходимо:

1. Записать уравнение линии в параметрической форме z =z (t ) или в комплексной форме .

2. В зависимости от вида уравнения линии рассмотреть соответствующий случай:

Если линия задана в параметрической форме, подставить выражение z (t ) в w =f (z );

Если линия задана в комплексной форме, то выразить z из w =f (z ), то есть , и . Затем следует подставить z и в уравнении линии. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.5. Для нахождения образа данной области следует воспользоваться одним из двух способов.

Первый способ.

1. Записать уравнение границы данной области. Найти образ границы заданной области по правилам 3.3 или 3.4.

2. Выбрать произвольную внутреннюю точку заданной области и найти ее образ при данном отображении. Область, которой принадлежит полученная точка, является искомым образом заданной области.

Второй способ.

1. Выразить z из соотношения w =f (z ).

2. Подставить полученное в п.1. выражение в неравенство, определяющее заданную область. Полученное соотношение - искомый образ.

Пример. Найти образ окружности |z |=1 при отображении с помощью функции w =z 2 .

■ 1 способ (по правилу 3.3).

1. Пусть z=x+iy , w=u+iv . Тогда u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy . Получаем:

2. Исключим х и у из этих уравнений. Для этого возведем первое и второе уравнения в квадрат и сложим:

u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 = x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .

Учитывая третье уравнение системы, получаем: u 2 +v 2 =1 или |w | 2 =1, то есть |w |=1. Итак, образом окружности |z |=1 является окружность |w |=1, проходимая дважды. Это следует из того, что поскольку w =z 2 , то Argw =2Argz +2pk . Поэтому когда точка z описывает полную окружность |z |=1, то ее образ описывает окружность |w |=1 дважды.

2 способ (по правилу 3.4).

1. Запишем уравнение единичной окружности в параметрическом виде: z =e it (0£t £2p ).

2. Подставим z =e it в соотношение w =z 2: w=e i 2 t =cos2t +i sin2t . Следовательно, |w | 2 =cos 2 2t +sin 2 2t =1, то есть |w |=1 – уравнение образа. ■

Пример. Найти уравнение образа прямой у=х при отображении w =z 3 .

■ Так как кривая задана в явном виде, то применим правило 3.3.

1. w =z 3 =(x +iy ) 3 =x 3 +3x 2 iy +3x (iy ) 2 +(iy ) 3 =x 3 - 3xy 2 +i (3x 2 y-y 3).

2. В полученную систему подставим у=х : Исключая х из этих уравнений, получим v=-u .

Итак, образом биссектрисы I и III координатных углов системы хОу является биссектриса II и IV координатных углов системы uOv . ■

1. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида

w =az +b , (4.1)

где а , b - комплексные постоянные.

Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga , а растяжение во всех точках равно . Если a= 1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b . Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .

В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:

w 1 =rz - подобие с коэффициентом r =|a |;

w 2 =e i j w 1 =rze i j - поворот на угол j =arga вокруг точки О ;

w =w 2 +b =re i j z +b - параллельный перенос на вектор .

Следовательно, отображение w =az +b изменяет линейные размеры любой фигуры плоскости в |a | раз, поворачивает эту фигуру на угол j =arga вокруг начала координат и смещает ее в направлении вектора на его величину.

Линейное отображение обладает круговым свойством, то есть переводит окружности z -плоскости в окружности w -плоскости (и обратно); прямые переводит в прямые.

Пример. Найти образ оси Оу при отображении w =2iz-3i .

■ 1 способ (по правилу 3.4). Уравнение оси выберем в параметрической форме.

1. Так как в действительной форме уравнение оси Oy : x =0, -¥<y <+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy , -¥<y <+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран у .

2. Подставим z=iy в выражение w =2iz-3i : w =-2y -3i , -¥<y <+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (у – параметр). Выделив действительную и мнимую часть, получим уравнение образа в действительной форме: u =-2y , v =-3 или v =-3, -¥<u <+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv , параллельной действительной оси.

2 способ . Используем круговое свойство линейного преобразования – образом прямой является прямая. Так как прямая определяется заданием двух точек, то достаточно на оси Оу выбрать любые две точки и найти их образы. Прямая, проходящая через найденные точки, и будет искомой. Выберем точки z 1 =0, z 2 =i , их образы w 1 =-3i , w 2 =-2-3i при отображении лежат на прямой Imw =-3.Следовательно, образом оси Оу является прямая v =-3.

3 способ (геометрический). Из соотношения w =2iz-3i следует, что a =2i , b =-3i , |a |=2, . Значит, заданную прямую (ось Оу ) надо повернуть на угол относительно начала координат, а затем сместить на 3 единицы вниз. Растяжение в 2 раза не меняет геометрического вида исходной линии, так как она проходит через начало координат. ■

Пример. Найти какую-нибудь линейную функцию, отображающую окружность |z-i |=1 на окружность |w- 3|=2.

■ Поставленная задача есть обратная задача теории отображений – по заданному образу и прообразу найти соответствующее отображение. Без дополнительных условий задача не имеет единственного решения. Приведем геометрический способ решения.

1. Переместим центр окружности в начало координат. Для этого применим отображение w 1 =z-i .

2. В плоскости w 1 применим отображение, дающее растяжение в 2 раза, то есть w 2 =2w 1 .

3. Смещаем окружность на 3 единицы вправо: w =w 2 +3. Окончательно получаем: w =2(z-i )+3, w= 2z +3-2i – искомая функция.

Можно выбрать другой порядок выполнения геометрических операций – сделать сначала не смещение, а поворот или растяжение. ■

2. Дробно-линейная функция

Дробно-линейной называется функция вида

где a , b , c , d - комплексные числа, такие что , .

Свойства дробно-линейного преобразования

1° Конформность

Отображение w =L (z ) является конформным во всех конечных точках комплексной плоскости, кроме .

2° Круговое свойство

Образом прямой или окружности при дробно-линейном отображении w =L (z ) является прямая или окружность, (причем образом прямой может быть как окружность, так и прямая, и образом окружности – как прямая, так и окружность). Несложно установить, что при отображении w =L (z ) все прямые и окружности, проходящие через точку переходят в прямые плоскости (w ), а все прямые или окружности, не проходящие через точку d , - в окружности плоскости (w ).

3° Инвариантность двойного отношения

Отношение сохраняется при дробно-линейном отображении, т.е является его инвариантом. Это отношение называется двойным отношением четырех точек . Таким образом, дробно-линейное преобразование однозначно определяется заданием трех точек и их образов: . По этим парам можно найти дробно-линейную функцию по формуле:

Эту формулу можно применять и в случае, когда некоторые из чисел z k и w k обращаются в ¥, если воспользоваться правилом: разность, в которой встречается символ ¥, следует заменить на 1.

4° Сохранение симметрии

Если точки z 1 и z 2 симметричны относительно некоторой прямой или окружности g , то при любом дробно-линейном отображении w =L (z ) их образы w 1 и w 2 будут симметричны относительно образа g : .

Симметрия относительно прямой понимается в обычном смысле.

Точки z и z* называются симметричными относительно окружности |z-z 0 |=R , если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности, и произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату ее радиуса, то есть

|z-z 0 |×|z*-z 0 |=R 2 . (4.4)

Точкой, симметричной точке z 0 – центру окружности, очевидно, является бесконечно удаленная точка.

5° Принцип соответствия обхода границ (отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями)

Если при дробно-линейном отображении прямая или окружность g переходит в прямую или окружность g¢ ,то область D , которую ограничивает g , преобразуется в одну из двух областей, которые ограничивает g¢ . При этом имеет место принцип соответствия обхода границ: если при каком-то обходе линии g область D оказывается слева (справа), то при соответствующем обходе линии g¢ область D¢ тоже должна оказаться слева (справа).

Пример. Найти дробно-линейную функцию w =L (z ), такую, что w (i )=2i , w (¥)=1, w (-1)=¥.

■ Обозначим z 1 =i , z 2 =¥, z 3 =-1 и w 1 =2i , w 2 =1, w 3 =¥. Применим формулу (4.3), заменяя разности, содержащие z 2 и w 3 на ¥:

Преобразуем: -w-wi+ 2i- 2=wz-wi-z+i Û w (z +1)=z -2+i Û - искомая функция. ■ :w =1 и Imw =0.

2. Теперь в соответствии с п.2. правила 3.5 выберем произвольную точку, например, z =-1ÎD . Ее образом при заданном отображении является , лежащая между прямыми Imw =1 и Imw =0. Следовательно, образом заданной области будет полоса 0< Imw <1. ■

3. Показательная функция

Показательной функцией комплексного переменного z=x+iy называется функция, обозначаемая expz (читается «экспонента z ») и определяемая формулой

Свойства expz

1° Если , то expz =expx =e x , т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного. Поэтому наряду с обозначением expz p , параллельные действительной оси:

Если, например, , то .

8° Показательная функция является аналитической на , (expz )¢=expz.

Пример. Найти действительную, мнимую часть, модуль и главное значение аргумента для числа e 2- i .

■ Используем определение показательной функции комплексного переменного. Пусть z =2-i , x =Rez =2, y =Imz =-1.

Тогда . Следовательно,

Можно также вместо определения использовать теорему сложения и формулу Эйлера (1.7). ■

Отображение w =expz

Пусть однозначная функция определена в некоторой области и пусть точки и принадлежат области .

Определение. Если существует конечный предел отношения , когда по любому закону стремится к нулю, то:

1) этот предел называется производной функции в точке и обозначается символом

2) в этом случае функция называется дифференцируемой в точке .

Все правила и формулы дифференцирования функции действительного переменного остаются в силе и для функций комплексного переменного.

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы:

1) действительные функции и были дифференцируемы в точке *) ;

2) в этой точке выполнялись условия

, (4.2)

называемые условиями Коши-Римана (C.-R. ) или Даламбера-Эйлера.

При выполнении условий (C.-R .) производная функции может быть найдена по одной из следующих формул:

Приведем два определения, имеющих фундаментальное значение в теории функции комплексного переменного.

Определение. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Определение. Функция называется аналитической в точке , если она является аналитической в некоторой окрестности точки , т.е. если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в ее окрестности.

Из приведенных определений видно, что понятия аналитичности и дифференцируемости функции в области совпадают, а аналитичность функции в точке и дифференцируемость в точке – разные понятия. Если функция аналитична в точке, то она, безусловно, дифференцируема в ней, но обратное может и не иметь места. Функция может быть дифференцируема в точке, но не быть дифференцируемой ни в какой окрестности этой точки, в таком случае она не будет аналитической в рассматриваемой точке.

Условием аналитичности функции в области является выполнимость условий Коши–Римана для всех точек этой области.

Связь аналитических функций с гармоническими . Любая ли функция двух переменных и может служить действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции?

Если функция аналитическая в области , то функции и являются гармоническими, т.е удовлетворяют уравнению Лапласа.

и .

Однако если функции и являются произвольно выбранными гармоническими функциями, то функция , вообще говоря, не будет аналитической, т.е. условия для них не всегда будут выполняться.

Можно построить аналитическую функцию по одной заданной гармонической функции (например, ), подобрав другую так, чтобы удовлетворялись условия . Условия (4.2) позволяют определить неизвестную функцию (например, ) по ее двум частным производным или, что то же самое, по ее полному дифференциалу. Отыскивание гармонической функции по ее дифференциалу есть известная из действительного анализа задача интегрирования полного дифференциала функции двух переменных.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть функция дифференцируема в области и . Функция отобразит точку плоскости в точку плоскости , кривую , проходящую через точку в кривую , проходящую через (рис.4.1).

Модуль производной есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между их прообразами и . Поэтому величину можно рассматривать геометрически как коэффициент растяжения (если ) в точке при отображении области в области , осуществляемом функцией

В каждой точке области в каждом направлении коэффициент растяжения будет свой. Для аргумента производной можно записать

где и это соответственно углы и , которые векторы и образуют с действительной осью (рис.4.1). Пусть и углы, образованные касательными к кривой и в точках и с действительной осью. Тогда при , а , поэтому определяет угол, на который нужно повернуть касательную к кривой в точке , чтобы получить направление к касательной к кривой в точке .

Если рассмотреть две кривые и , и , то углы и (рис. 4.1) между их касательными, вообще говоря, неравные.

Определение. Отображение области на область , обладающее свойствами постоянства растяжений () в любом направлении и сохранения (или консерватизма) углов между двумя кривыми, пересекающимися в точке , называется конформным (подобным в малом). Отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным во всех точках, в которых .

УПРАЖНЕНИЯ

55. Показать, что функция дифференцируема и аналитична во всей комплексной плоскости. Вычислить ее производную.

Решение. Найдем и . По определению имеем . Следовательно, .

, ,

Откуда , .

Как видно, частные производные непрерывны на всей плоскости, и функции и дифференцируемы в каждой точке плоскости. Условия выполняются. Следовательно, дифференцируема в каждой точке плоскости, а значит, и аналитична на всей плоскости . Поэтому производную можно найти по одной из формул (4.3):

Наконец, производная может быть найдена по правилам формального дифференцирования: .

56. Выяснить, является ли аналитической функция:

Решение. а) Так как , то , откуда . Как видно, первое условие (4.2) не выполняется ни при каких и . Следовательно, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости, а поэтому и не аналитична.

б) Имеем . Функция и дифференцируемы в каждой точке плоскости, ибо их частные производные непрерывны во всей плоскости. Но условия не выполняются ни в какой точке плоскости, кроме точки , где все частные производные равны нулю. Следовательно, функция дифференцируема только в одной точке, но не является аналитической в ней, так как по определению требуется дифференцируемость в окрестности данной точки.

Таким образом, функция не является аналитической ни при каком значении . Из приведенного примера ясно, что аналитичность функции в точке более сильное требование, чем дифференцируемость ее в этой точке.

57. Существует ли аналитическая функция, для которой ?

Решение. Проверим, является ли функция гармонической. С этой целью находим

и . Из последнего соотношения следует, что не может быть действительной, а также и мнимой частью аналитической функции.

58. Найти, если это возможно, аналитическую функцию по ее действительной части .

Решение. Прежде проверим, является ли функция гармонической. Находим , , , и . Гармоническая на всей плоскости функция сопряжена с условиями Коши-Римана , . Из этих условий получаем , . Из первого уравнения системы находим интегрированием по , считая постоянным.

где произвольная функция, подлежащая определению. Найдем отсюда и приравняем к выражению , ранее найденному: . Получим дифференциальное уравнение для определения функции , откуда

Итак, . Тогда, т.е. в данной точке происходит вращение на угол и образующие между собой угол , отображаются соответственно в лучи и , образующие между собой угол . Поэтому в точке конформность отображения нарушается в силу того, что нарушается свойство консерватизма углов: углы не сохраняются, а утраиваются.