Управление проектными работами по созданию производственного участка осуществляется с помощью сетевого планирования. В данном разделе необходимо на основе разработанной сетевой модели плана работ на предынвестиционном этапе проекта (рис.5) рассчитать основные параметры сети и определить стоимость предпроектных исследований, инженерных и проектных работ (смета затрат) для оценки величины предпроизводственных капитальных вложений.

Исходные данные о длительности выполнения отдельных работ сетевого графика и количестве исполнителей задаются самостоятельно экспертным путем (исходя из продолжительности выполнения всех работ – 60...80 дней) и заносятся в табл. 11 (t min – оптимистическая оценка, t max – пессимистическая оценка, в днях; НС- научный сотрудник, И- инженер-исследователь, Э- экономист).

Рис. 5. Сетевой график разработки инвестиционного проекта

Ожидаемая продолжительность работ сетевого графика рассчитывается по формуле

t ож = (3 t min + 2 t max)/5 , дней. (14)

Дисперсия среднеквадратичного отклонения s ij 2 от ожидаемой продолжительности работ определяется по формуле

s ij 2 = 0,04(t max – t min) 2 . (15)

Результаты расчетов сводятся в табл. 11. Ожидаемая продолжительность проставляется над стрелками сетевого графика (см. рис.5).

Расчет основных параметров сетевого графика выполняется непосредственно на нём самом и в табл. 12. Для этого каждый кружок, изображающий событие, делится на четыре части (рис. 6).

Рис. 6. Параметры события

Заполнение секторов выполняется в построенном сетевом графике по следующим правилам.

1. Заполняются верхние секторы номерами событий i.

2. Заполняются левые секторы в последовательности от исходного (нулевого) события к завершающему с одновременным расчетов ранних сроков событий по формуле Тp j = max (Тp i + t i j) (16)

где t i j – ожидаемая продолжительность работы между предшествующим i и последующим j событиями.

Таблица 11

Код	Наименование работ	Продолжительность,	Исполнители,	s ij 2
работы		дни	чел.
i – j		t min	t max	t ож	НС	И	Э
0–1	Выбор продукта
1–2	Маркетинговое исследование
1–4	Анализ возможностей
1–3	Выбор места предприятия
2–4	Прогноз объемов производства
2–9	Прогноз цены изделия
3–4	Разработка технологии
3–9	Выбор заготовки
4–5	Расчет числа станков
4–6	Организация работ на участке
5–6	Расчет количества рабочих
5–7	Планировка участка
6–8	Расчет заработной платы
7–10	Расчет капиталовложений
8–9	Расчет себестоимости
9–10	Расчет прибыли
9–11	Анализ безубыточности
10–12	Расчет эффективности
11–12	Оценка рисков
12–13	Расчет показателей проекта

3. Для завершающего события всегда Т Р = Т n , поэтому цифра из левого сектора переносится в правый сектор.

4. Дальнейшее заполнение правых секторов идет от последнего (завершающего) события к исходному с одновременным расчетом поздних сроков по формуле

Тп i = min (Тп i – t i j). (17)

5. В нижний сектор заносится значение резерва события, вычисляемое как

Ri = Тп i – Тp i . (18)

6. Расчет резервов работ полного Rп ij и свободного Rс ij выполняется по формулам

Rп i j = Тп j – Тp i – t i j ;

Rc i j = Тp j – Тp i – t i j. (19)

7. Критический путь t(L кр) определяется как путь, проходящий через события, не имеющие резервов времени (т.е. Ri = 0, Rп i j = 0, Rc i j = 0).

Рассчитанные значения параметров сетевого графика заносятся в табл. 12.

Таблица 12

Код работы,	t ож	Тp i	Тp j	Тп j	Rп i j	Rc i j	Kн i j
i j

Значения коэффициентов напряженности работ Kн i j определяется как отношение несовпадающих отрезков максимального пути к критическому пути, проходящему через одноименные события

(20)

где t′ (L кр) – совпадающие отрезки измеряемого и критического пути.

Градация коэффициентов напряженности проводится по трем зонам: избыточной К Н ij < 0,5 , промежуточной 0,5 £ К Н ij £ 0,8 и критической К Н ij > 0,8. Работы критической и избыточной зон сетевого графика можно выделить цветом на сетевом графике.

Учет колебаний сроков свершения событий (s ij 2 – дисперсия) сетевого графика позволяет оценить вероятность наступления завершающего события в директивный срок. Исходя из допущения, что значение критического пути t (L кр) подчиняется закону нормального распределения, необходимо рассчитать эту вероятность, используя аргумент функции распределения вероятностей χ (функции Лапласа) ______

χ = (t дир – t кр) /(√ ∑(s ij 2)), (21)

где t дир – директивный срок разработки проекта (принять равным 0,95 от t кр); ∑(s ij 2) – сумма дисперсий длительностей работ на критическом пути (находится из табл. 11).

Значения вероятности p к в зависимости от c находятся по табл. 13.

Таблица 13

c	p к	c	p к	c	p к
	0,5000	–1,0	0,1587	–2,0	0,0228
–0,1	0,4602	–1,1	0,1357	–2,1	0,0179
–0,2	0,4207	–1,2	0,1151	–2,2	0,0130
–0,3	0,3821	–1,3	0,0968	–2,3	0,0107
–0,4	0,3446	–1,4	0,0808	–2,4	0,0082
–0,5	0,3085	–1,5	0,0668	–2,5	0,0062
–0,6	0,2743	–1,6	0,0548	–2,6	0,0047
–0,7	0,2420	–1,7	0,0446	–2,7	0,0035
–0,8	0,2119	–1,8	0,0359	–2,8	0,0026
–0,9	0,1841	–1,9	0,0287	–2,9	0,0019

Для оценки полученного значения p к имеются вполне определенные границы:

p к > 0,65 – на критическом пути имеются избыточные ресурсы;

p к < 0,35 – вероятность срыва директивных сроков очень велика, необходимо перепланирование сети;

0,35 £ p к £ 0,65 – наступление директивного срока достаточно вероятно.

Составление сметы затрат проектных работ следует начать с расчета заработной платы исполнителей по отдельным этапам работ. Расчет заработной платы выполняется в табл. 14.

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ СЕТЕВОГО ГРАФИКА

Пример. Разработать план выполнения конструкторской подготовки производства нового изделия в виде сетевого графика на основе приведенного перечня работ и трудоемкости их выполнения (таблица 6). Произвести расчет производительности каждой работы (i-j) исходя из заданной трудоемкости и установленной численности; построить сетевой график данного комплекса работ; закодировать построенный сетевой график; рассчитать параметры сетевого графика (наиболее ранние и наиболее поздние сроки начала и окончания работ; общие и частные резервы времени работ; продолжительность критического пути, выполнить анализ полученных данных и предложить оптимизацию сетевого графика по параметру «время-ресурсы»).

Таблица 6. Исходные данные

№ п/п	Код работ	Работа	Трудоемкость, чел.-нед.
	0-1
	0-5	Патентный поиск
	1-2	Выбор и расчет схемы
	1-3
	2-4
	2-7
	4-5
	3-5
	5-6
	5-7
	6-7	Изготовление оснастки
	7-8
	8-9

1. Определение продолжительности выполнения каждой работы (i-j). Расчет ведется по формуле.

t (i - j) – трудоемкость работы (i-j), чел.-недель;

Ч (i - j) – численность исполнителей работы (i-j), чел.;

К в – коэффициент выполнения норм времени (принимаем равным 1).

Подставим в эту формулу соответствующие данные по первой работе (из таблицы 7.) и получаем

t (0-1) =6/3*1=2 недели

Аналогично проводятся расчеты по всем остальным работам, а результаты заносятся в таблицу 7. (колонка 6).

Таблица 7

№ п/п	Код работ	Работа	Трудоемкость, чел.-нед.	Численность исполнителей, чел.	Продолжи-тельность работы, в. нед.
	0-1	Разработка ТЗ (технического задания)
	0-5	Патентный поиск
	1-2	Выбор и расчет схемы
	1-3	Разработка эскизного проекта
	2-4	Разработка принципиальной схемы
	2-7	Обработка данных и подготовка к макетированию
	4-5	Определение допусков на электронные параметры
	3-5	Блочное проектирование макета
	5-6	Проектирование технологии и специальной оснастки
	5-7	Разработка и расчет конструкторской документации для изготовления макета
	6-7	Изготовление оснастки
	7-8	Изготовление макета нового изделия
	8-9	Испытание макета нового изделия

2. Построение и кодирование сетевого графика проводиться на основе данных таблицы 7. Метод предусматривает расчет следующих параметров:

Ранних сроков свершения событий (t i p);

Поздних сроков свершения событий (t i п);

Резервов времени свершения событий (R i).

Для расчета параметров сетевого графика по этому методу все события (обозначающие их кружки) делятся на 4 сектора (рис. 34).

В верхних секторах проставляются коды событий; в левых секторах в процессе расчета записываются наиболее ранние сроки свершения событий(t i p); в правых - наиболее поздние сроки свершения событий(t i п); в нижних секторах – календарные даты или резервы событий (R i).

№ события

Резервы (R i)

Ранний срок свершения события (t i p)

Поздний срок свершения события (t i п)

Рис. 34. Параметры события

Расчет ранних сроков свершения событий ведется слева направо , начиная с исходного события, и заканчивая завершающим событием. Ранний срок свершения исходного события принимается равным нулю(t i p)=0. Ранний срок свершения j-события определяется прибавлением продолжительности работы, ведущей к j-му событию

(t j p = t i p + t (i - j)), при условии, что j-е событие входит одна работа.

Например, для события № 2 t j p =3+3=6

Если j-му событию предшествует несколько работ , то находятся величины ранних сроков выполнения каждой из этих работ и из них выбирается максимальная по абсолютной величине и записывается в левом секторе события t j p =max t (i - j) p .

Например, t (1-5) p =3 + 5= 8, t (3-5) p = 7 + 5 = 12 t (4-5) p = 9 + 2=11

Выбирается максимальное значение 12 и записывается в левом секторе события № 5.

Подобным образом, расчет ведется до завершающего события.

Расчет поздних сроков свершения события ведется справа налево , начиная с завершающего события и заканчивается исходным . Поздний срок свершения завершающего события принимается равным раннему сроку свершения этого события (t j п = t j р). Например: t 9 п = t 9 р =30. Это значение записывается в правом секторе события.

Поздний срок свершения i-го события определяется как разность между значением срока свершения последующего j-го события, записанным в правом секторе, продолжительностью работы, ведущей от i-го события к j-му (t j п = t j п – t (i - j)). Это значение записывается в правом секторе i-го события, если из i-го события выходит одна работа. Если из i-го события выходит несколько работ, то выбирается минимальное значение и записывается в правом секторе i-го события, это и есть поздний срок свершения i-го события. Например: из события № 2 выходят 2 работы, из них

t (2-7) п = 22-4=18; t (2-4) п = 10-3=7 ; . t (2-3) п = 7-0 =7 ,

выбирается минимальное значение 7 и записывается в правом секторе события № 2.

Подобным образом расчет ведется до исходного события.

Резерв времени i-го события определяется непосредственно на сетевом графике путем вычитания величины раннего срока свершения i-го события (R i = t j п - t j р) .

Следует отметить, что все события , которые не имеют резервов времени, лежат на критическом пути, однако для выделения лежащих на критическом пути работ этого недостаточно. Например, у работы (5-7) ранние и поздние сроки свершения событий равны, однако она не лежит на критическом пути .

Для критических работ должно соблюдаться следующее условие t j р – t i р =t (i - j) (для работы (5-7): 22-12=10 , а t (5-7) =4, следовательно, работа имеет резерв и поэтому не является критической).

Критический путь равен 27 и проходит по событиям (0-1-3-5-6-7-8-9) (рис. 35).

Оптимизация сетевого графика производится эвристическим методом. Сначала график оптимизируется по параметру «время», а затем, при удовлетворении длительностью критического пути, по «ресурсам» (людские, материальным и др.). По параметру «время» существует несколько способов приведения графика в соответствии с заданными сроками. Например, пересмотр топологии сети, сокращение продолжительности работ, лежащих на критическом пути и т.д.

Оптимизацию сетевого графика выполним по параметру «людские ресурсы». Оптимизация сводится к расчету численности исполнителей по календарным периодам и приведению ее к заданным ограничениям.

Для этого сетевой график наносится на календарную сетку (рис. 36), при этом работы изображаются прямыми стрелками в масштабе времени их свершения по наиболее ранним срокам, а резервы времени работ (частные резервы времени работ второго вида) – пунктирными.

После построения графика в масштабе времени над стрелками (работами) проставляются число исполнителей, которые затем суммируются по календарным периодам, и результаты сравниваются с располагаемой численностью.

Под сетевым графиком строится график загрузки людских ресурсов по плановым периодам. Если расчетные числа превышают располагаемую численность исполнителей в каком-либо периоде (в нашем случае, располагаемая численность 8 чел.), производится сдвиг начала работ на более ранние или более поздние сроки в пределах имеющихся резервов времени работ с такими расчетами, чтобы суммарное число людских ресурсов по календарным периодам не превышало наличие (рис. 36).

В данном случае имеется превышение численности по отдельным плановым периодам и недогрузка исполнителей по отдельным неделям.

В этой связи было перемещено начало выполнения отдельных работ в пределах имеющихся резервов времени, в частности:

Работа (1-5) перемещена на более раннее начало с изменением топологии сетевого графика;

Начало работ (4-5) и (2-7) перемещено соответственно на величину их резервов времени;

Выполнение работ (5-7) увеличено с 4 до 6 недель с сокращением численности исполнителей;

Выполнение завершающей работы (8-9) сокращено с 3 до 2 недель с увеличением численности исполнителей.

Сетевой график и график загрузки людских ресурсов после проведенной оптимизации представлены на рис. 37. Приоритет передвижения работ по оси времени отдавался работам с наибольшими резервами времени.

Для записи результатов расчета принимают одну из следующих форм (рис. 41)

Рис. 41. Изображение событий для расчета на графике:

а - секторный способ; б - метод дроби

1 - раннее свершение события i (раннее начало работы ij);

2 - номер события i;

3 - позднее свершение события i (позднее окончание работы hi;

4 - код предшествующего события, через которое проходит путь максимальной продолжительности к данному событию.

3. 6. 1. Секторный способ расчета сетевого графика

При этом способе сетевой график вычерчивают с кружками больших размеров.

Порядок расчета:

1) у исходного события в левом секторе ставят нуль;

2) при движении слева направо от исходного события к конечному для каждого следующего события в левом секторе записывают число, равное сумме значения раннего срока свершения предыдущего события и продолжительности работы.

Если в событие входит две или более работ, то рассчитывают значение каждой из них, но в левый сектор переносят только максимальное значение из всех полученных ;

3) в завершающем событии значение, записанное в левом секторе, определяющее длину критического пути, переносят в правый сектор;

4) ходом справа налево от завершающего события к исходному находим значение позднего окончания работы путем вычитания из значения поздних сроков свершения конечного события (правый сектор) продолжительности предшествующих им работ. Результат записываем в правый сектор. В отличие от расчета ранних сроков (левый сектор), если из события выходит две или более работ, принимают не максимальное, а минимальное значение;

5) общий резерв времени для любой работы определяют вычитанием из значения правого сектора конечного события данной работы (куда работа входит), суммы значений левого сектора начального события данной работы (откуда работа выходит) и ее продолжительности;

6) частный резерв для любой работы определяют вычитанием из значения левого сектора конечного события данной работы (куда входит работа), суммы значений левого сектора начального события (откуда работа выходит) и продолжительности данной работы;

7) критический путь проходит через события в которых значения в левом и правом секторах совпадают. Полный и частный резерв времени для работ критического пути равен нулю;

8) резерв времени события равен разности значений правого и левого секторов.

Рис. 42. Сетевой график с результатами расчета секторным методом

3. 6. 2. Расчет параметров сетевого графика методом дроби

Осуществляется точно так же, как и расчет параметров секторным способом, только результаты записи вместо левого сектора записываются в числитель, а вместо правого - в знаменатель. Таким образом, на графике около каждого события проставляется два значения:

1) числитель - раннее начало последующей работы, равное наибольшей из сумм ранних начал и продолжительностей предшествующих работ. Раннее начало исходных работ графика принимают равным нулю. Расчет ведут слева направо;

2) знаменатель - позднее окончание предшествующих работ, равное наименьшей из разностей поздних окончаний последующих работ и их продолжительностей. Расчет ведут справа налево.

Работы критического пути при методе дроби определяют по событиям, ранние и поздние сроки свершения которых (числа числителя и знаменателя) равны между собой.

Полный резерв времени - это знаменатель у конца стрелки минус числитель у начала стрелки минус продолжительность работы.

Свободный резерв времени - это числитель у конца стрелки минус числитель у начала стрелки минус продолжительность работы.

Значение резервов времени записывают в отдельной таблице или непосредственно на графике рядом с конечным событием соответствующей работы.

Рис. 43. Сетевой график с результатами расчета методом дроби

Преимущества методов расчета на графике по сравнению с табличным способом следующие:

1) для расчета на графике не обязательна строгая упорядоченность событий;

2) исключаются ошибки, возникшие при записи в таблицу исходных данных для расчета;

3) арифметические вычисления более просты, не требуют каждый раз пересмотра ряда цифр, их переноса в другую колонку, что сокращает трудоемкость и уменьшает вероятность ошибок при расчете;

4) расчет на графике производится быстрее, чем в таблице.

Недостатки графического расчета:

1) записываемые на графике параметры работ в ходе строительства часто меняются, и в результате исправлений график быстро приходит в негодность;

2) не представляется возможности накапливать результаты предыдущих расчетов и, таким образом, отразить или исследовать динамику строительства.

3. 6. 3. Расчет сетевого графика по потенциалам событии

Потенциал Пi события i - максимальное время от данного события i до завершающего события сетевого графика - определяется величиной наиболее продолжительного пути между этими событиями. Потенциал первого (исходного) события равен общей продолжительности строительства, ограниченной завершающим событием, а потенциал завершающего события равен нулю.

Сетевой график по методу потенциалов рассчитывается двумя проходами: прямым - слева направо от исходного события последовательно по всем путям графика до завершающего и обратным -справа налево от завершающего события до исходного.

При прямом расчете определяют ранние сроки свершения событий. Эта часть расчета выполняется аналогично графическому методу (по секторам или в виде дроби). Результаты расчета записывают в X -образный знак около события. В левый сектор записывается раннее время свершения события (величина раннего начала работ), в нижний номер предшествующего события, через которое к данному проходит максимальный путь.

При обратном расчете определяют потенциалы событий. Расчет выполняют так же, как и расчет ранних сроков свершения событий, но точкой отсчета является завершающее событие графика (а не исходное). Таким образом, получаем данные о максимальной продолжительности работ от данного события до завершающего и тем самым, отвечаем на вопрос, который чаще всего возникает при обсуждении хода строительства: сколько дней осталось до конца, сколько дней имеется в резерве.

Потенциал событий вычисляется по формуле

При обратном расчете в правый сектор записывается потенциал данного события, а в верхний - номер последующего события, через которое от данного проходит максимальный путь к завершающему.

При анализе хода работ по графику для определения потенциала начального или промежуточного события какой-либо работы достаточно к имеющемуся потенциалу конечного события работы прибавить оставшуюся продолжительность. Преобразования, происшедшие в ходе изменений той или иной работы, не влияют на продолжительность пути от конечного до завершающего события. В связи с этим оперативный пересчет графика вручную занимает мало времени.

Сети или сетевые модели имеют широкое практическое применение. Из всего разнообразия методов и моделей рассмотрим здесь лишь метод критического пути (МКП). Сеть в этом случае – это графическое отображение комплекса работ. Основными элементами сети здесь являются события и работы.
Событие – это момент завершения процесса, отображающий отдельный этап выполнения проекта. Комплекс работ начинается с исходного и заканчивается завершающим событием.
Работа – это протяжённый во времени процесс, необходимый для свершения события и, как правило, требующий затрат ресурсов.
События на сетевом графике обычно изображаются кружками, а работы – дугами, соединяющими события. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие.
В сетевом графике не должно быть "тупиковых" событий, за исключением завершающего, не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного), не должно быть замкнутых контуров и петель, а также параллельных работ.
Рассмотрение основных понятий и положений МКП будем вести на основе следующего примера. Пусть задана следующая последова­тельность работ с их временными характеристиками: Построим сетевой график так, чтобы все дуги работы были
направлены слева направо (рис.2). Над дугами проставлены длительности работ.

Рис. 2. Сетевой график примера

Критический путь представляет собой путь от начальной до конечной работы, имеющий наибольшую длительность. Любое замедление в выполнении работ критического пути неизбежно приведёт к срыву выполнения всего комплекса работ, поэтому критическому пути и уделяется столько внимания.
Рассмотрим основные понятия, связанные с критическим путём .
Ранний срок наступления события (ЕТ). Он определяется для каждого события при движении по сети слева направо от начального к конечному событию. Для начального события ЕТ = 0. Для других определяется по формуле, где ЕТ 1 – ранний срок наступления события i, предшествующего событию j; t ij – продолжительность работы (ij).

Поздний срок наступления события (LТ) – это наиболее позд­ний срок, в который может наступить событие без задержки выполнения всего комплекса работ. Определяется он при движении по сети справа нале­во от конечного события к начальному по формуле:

Для критического пути ранние и поздние сроки наступления событий совпадают. Для конечного события эта величина равна длине критического пути. Расчёт показателей сетевого графика можно производить непосредственно по вышеприведённым формулам. Сначала надо найти ранние сроки наступления событий (при движении по сети слева направо, от начала к концу), (остальное выполнить самостоятельно).

Затем расчёты выполнить в обратном направлении и найти поздние сроки наступления событий.
Положить ЕТ 10 = LT 10 . LT 9 = LT 10 – t 9,10 = 51 –11 = 40.
LT 8 = LT 10 – t 89 = 51 – 9 = 42, и т.д.
Возможен и другой способ вычисления показателей – табличный.
События отмечаются в квадратах "главной" диагонали. Работы отмечаются дважды в верхних и нижних "побочных" квадратах отно­сительно главной диагонали таблицы. В верхних "побочных" квад­ратах таблицы номер строки соответствует предыдущему событию, номер столбца – последующему. В нижних "побочных" квадратах на­оборот.
Порядок заполнения таблицы

1. Сначала заполняются числители верхних и нижних побочных квадратов. В них записываются продолжительности соответствующих работ.
2. Заполняются знаменатели верхних "побочных" квадратов как суммы числителя главного квадрата и числителя верхнего "по­бочного" в той же строке.
3. Числитель первого главного квадрата принимается равным нулю, числители остальных главных квадратов равны максимуму знаменателей верхних "побочных" квадратов в том же столбце.
4. Знаменатель последнего главного квадрата принимается равным числителю этого квадрата. Знаменатели нижних "побочных" квадратов равны разности знаменателя главного и числителя "ниж­него" побочного в той же строке.
5. Знаменатели главных квадратов равны минимуму знаменате­лей "нижних" побочных в том же столбце.
Расчёт показателей сетевого графика

Из таблицы находятся показатели графика:
1. Ранние сроки наступления событий (числители главных квадратов).
2. Поздние сроки наступления событий (знаменатели главных квадратов).
3. Резервы времени событий (разность между знаменателем и числителем главного квадрата). В нашем случае критическими событиями (не имеющими резер­вов) являются 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10. Они составляют критический путь. Продолжительность критического пути равна 51 (числитель или знаменатель последнего главного квадрата).
4. Ранний срок окончания работ (знаменатели верхних "по­бочных" квадратов).
5. Поздний срок наступления работ (знаменатели соответс­твующих нижних "побочных" квадратов).

6. Общие резервы времени работ (разность между знаменателем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" в том же столбце).
7. Свободные резервы времени работ (разность между числите­лем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" квадра­та в том же столбце).

Воспроизведём график сети, проставив над каждым событием слева – ранний, а справа – поздний сроки наступления события (рис.3).

Рис. 3. Сетевой график с временными характеристиками

Итак, критический путь проходит вдоль работ 1–3–4–6–7–8–10, и его длительность равна 51.
Резерв времени события определяется как разность между их LT и ET. Ясно, что резервы времени событий вдоль критического пути равны нулю. Для нашего примера резерв времени, например, события 2 равен 28–10 = 18, а события 9 равен 40–36 = 4. На эти промежутки времени может быть задержано выполнение соответствующих работ без риска задержать проект в целом.
Это были временные характеристики событий. Рассмотрим вре­менные характеристики работ. К ним относятся свободный и общий (полный) резервы времени работ.
Общий резерв времени работы (ТS) определяется из соотноше­ния

TS ij = LT j – ET i – t ij

и показывает, на сколько можно увеличить продолжительность ра­боты при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.
Свободный резерв времени работы (FS) определяется из соотношения

FS ij = ET j – ET i – t ij

и показывает часть полного резерва времени, на которое можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока её конечного события.
Если свободный резерв времени работ может быть использован по всем работам сети одновременно (тогда все работы становят­ся критическими), то для полных резервов этого сказать нельзя; его можно использовать или для одной работы пути полностью, или для разных работ частями.
Для критических работ ТS и FS равны нулю. ТS и FS могут быть использованы при выборе календарных сроков выполнения нек­ритических работ и для частичной оптимизации сетевых графиков.
Окончательно имеем: Временные характеристики работ

Некритические работы	Продолжительность	Общий	Свободный резерв FS
1-2	10	18	0
1-4	6	5	5
2-5	9	18	0
4-5	3	23	5
3-6	8	9	9
4-7	4	15	15
5-8	5	18	18
6-9	7	12	8
7-9	6	4	0
7-10	8	13	13
9-10	11	4	4

Задачи для контрольных заданий №4

По следующим данным построить сеть, аналогичную рассмотренной в примере, определить временные характеристики ее работ и событий, критический путь и его длину. При выполнении данной задачи подставьте вместо n номер своего варианта и полученное число округлить до целого.

Работа	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(2,5)	(2,4)	(3,4)	(3,6)	(4,5)	(4,6)
Продолжительность	5+n/3	6+n/3	7+ n/3	4+n	8+ n/3	3+n	4+n/2	10+ n/3	2+n
(4,7)	(5,7)	(5,8)	(6,7)	(6,9)	(7,8)	(7,9)	(7,10)	(8,10)	(9,10)
8+ n/3	9+n/2	10+ n/3	12+n/2	9+n	7+ n/3	5+n	9+n	11+n/2	8+ n/3

Практическое занятие №2

Параметры сетевой модели

1. Порядок сетевого планирования

1. Установление полного перечня работ, которые необходимо выполнить при планировании комплекса работ.

2. Составление топологии сети - четкой последовательности и взаимосвязей всех работ и построение сетевого графика.

3. Оценка продолжительности выполнения отдельных работ.

4. Расчет параметров сетевого графика.

5. Анализ и оптимизация сетевого графика.

6. Управление ходом работ по сетевому графику.

Параметры сетевой модели

В системах СПУ применяются различные типы сетевых моделей, отличающиеся составом информации о комплексе работ.

Встречаются модели с детерминированной и вероятностной структурой сети, с детерминированными и вероятностными оценками продолжительности работ сети. При выборе модели руководителю проекта приходится принимать компромиссное решение: с одной стороны, сетевая модель должна быть простой, а с другой – адекватной объекту.

Широкое применение получила сетевая модель ПДВ (простейшая детерминированная временная), которая характеризуется следующими тремя моментами:

а) имеется сеть с единственным исходным и единственным завершающим событием;

б) продолжительности всех работ t ij известны, однозначно определены (вспомните из математики: детерминант – определитель) и указаны на графике (обычно в днях, в зарубежной практике – чаще в неделях);

в) задан момент начала выполнения комплекса Т 0 , а также задается (но не обязательно) директивный срок Т дир наступления завершающего события.

Рассмотрим временные параметры этой модели.

По известным продолжительностям работ легко определить продолжительность каждого пути – t(L) . Продолжительность любого пути равна сумме продолжительностей работ, его составляющих:

Для пояснения обратимся к рис.1. На графике над стрелками указаны продолжительности работ в днях (напомним, что продолжительность фиктивной работы равна нулю).

Найдем на графике полные пути и определим их продолжительность (по номерам событий):

L 1 1 – 2 – 5 – 7 – 8 t(L 1) = 14 дн.

L 2 1 – 2 – 4 – 5 – 7 – 8 t(L 2) = 12 дн.

L 3 1 – 3 – 4 – 5 – 7 – 8 t(L 3) = 13 дн.

L 4 1 – 3 – 6 – 7 – 8 t(L 4) = 16 дн.

Всегда найдется путь, имеющий наибольшую продолжительность, он называется критическим – L кр . Его продолжительность получила особое обозначение:

t(L кр) = Т кр.

Понятие критического пути является центральным понятием в системе СПУ. Значение L кр , во-первых, состоит в том, что он является самым длинным путем в сети и, таким образом, является единственным путем, который определяет полную продолжительность процесса. Поэтому, если мы хотим определить полную продолжительность процесса, нужно определить Т кр , а определять для этой цели все остальные t(L) не имеет смысла. Во-вторых, если мы хотим сократить продолжительность процесса, нужно прежде всего сокращать продолжительность работ, принадлежащих L кр . Таким образом, логика сетевого планирования приводит нас к необходимости находить в сетях критические пути и определять их продолжительность.

На графике рис. 1 путь L 4 имеет наибольшую продолжительность, равную 16 дням, и потому является критическим. Обычно критический путь на графиках выделяется (цветными, двойными, жирными и т.п. стрелками).

Обратим внимание, что в сети может быть несколько критических путей (с точки зрения использования ресурсов – чем больше критических путей в графике, тем лучше).

Обычно к L кр принадлежит 10-15 % работ. Чем сложнее сеть, тем таких работ меньше (считается, что в сети средней сложности количество работ в 1,7 раза превышает количество событий).

Другие полные пути рассматриваемого сетевого графика могут либо полностью проходить вне критического пути (L 1 и L 2 ), либо частично с ним совпадать (L 3 ). Эти пути называются ненапряженными : на участках, не совпадающих с критической последовательностью работ, они имеют резервы времени. Задержка в наступлении событий, лежащих на этих участках, до определенного момента не влияет на срок завершения всего комплекса.

Из ненапряженных путей наибольшее внимание привлекают наименее напряженные и подкритические. Подкритические пути имеют продолжительность, близкую к Т кр (отличаются от Т кр на определенную величину, устанавливаемую руководителем проекта). Эти пути могут стать критическими в результате задержки выполнения их работ или в результате сокращения продолжительности работ, лежащих на критическом пути, и, следовательно, являются потенциально опасными с точки зрения соблюдения сроков завершения проекта.

Например, при увеличении времени выполнения работы 2-5 (рис. 1) на 2 дня это приведет к тому, что t(L 1) = 16 дн. = Т кр . Тогда L 1 тоже станет критическим и будет определять срок выполнения всего комплекса.

Наименее напряженные пути могут рассматриваться с точки зрения возможности использования ресурсов (рабочей силы, оборудования, денежных средств). Возможное удлинение этих путей, вызванное переброской ресурсов, до определенных пределов не опасно для сроков проекта.

Работы, принадлежащие критическому и подкритическим путям, составляют критическую зону комплекса (15-20 % всех работ).

Зная продолжительность всех работ, можно также определить сроки наступления всех событий сети. Для каждого события определяют ранний и поздний сроки его наступления.

Ранний срок наступления события – это минимальный из возможных моментов его наступления, когда будут выполнены все работы, предшествующие данному событию. Он определяется максимальной из продолжительностей всех путей, предшествующих данному событию:

где - путь, предшествующий данному событию i ;

Поясним это на примере рис. 1. Событию 5 предшествуют три пути: 1-2-5 с продолжительностью 7 дн., 1-2-4-5 с продолжительностью 5 дн. и 1-3-4-5 с продолжительностью 6 дн. Событие 5 не может наступить ранее 7 дней, т.к. только в течение этого периода будут выполнены все предшествующие ему работы 2-4, 3-4 и 2-5.

Легко увидеть, что для события 3 ранний срок его наступления = 4 дн., т.к. ему предшествует только один путь 1-2, состоящий из одной работы.

Поздний срок наступления события - это максимальный из допустимых моментов его наступления, при котором еще не изменяется общий срок выполнения всего комплекса. Поздний срок определяется разностью между Т кр и наибольшей из продолжительностей путей, следующих за событием i :

(3)

где - путь, следующий за событием i ;

Максимальный из этих путей.

Продолжим рассмотрение рис. 1. За событием 5 следует только один путь 5-7-8 продолжительностью 7 дней. Следовательно,

16 – 7 = 9 дн.

За событием 3 следуют два пути: 3-4-5-7-8 с продолжительностью 9 дн. и 3-6-7-8 с продолжительностью 12 дн. Следовательно, = 16 – 12 = 4 дн., т.е. событие 3 не может наступить позже 4 дней от начала работ, иначе это скажется на изменении срока всего комплекса.

Так как по определению критического пути

, (4)

то для всех событий, принадлежащих критическому пути, справедливо равенство:

В справедливости этого мы уже убедились из рассмотренного примера для события 3. Оно лежит на критическом пути, поэтому

Зная сроки наступления событий, можно для каждой работы сети определить сроки ее начала и окончания, выявив тем самым возможности смещения сроков. Применительно к каждой работе рассматриваются четыре срока:

Ранний срок начала работы ; (6)

Ранний срок окончания работы ; (7)

Поздний срок начала работы ; (8)

Поздний срок окончания работы . (9)

С учетом равенства (5) для событий, лежащих на критическом пути, можно сделать вывод, что у работ критического пути ранние и поздние сроки начала или окончания совпадают:

Следующим важным параметром является резерв времени – применительно к пути, событию и работе.

Критический путь является самым продолжительным в сети. Разность между продолжительностью критического пути Т кр и продолжительностью любого другого пути t(L) называется резервом времени пути L и обозначается :

(11)

Чем короче путь L , чем больше он по времени не совпадает с критическим, тем у него больше резерв времени. Физический смысл этого параметра таков: резерв времени пути показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности работ, принадлежащих пути L , чтобы при этом не изменился общий срок выполнения всего комплекса работ.

Так, L 1 (см. рис. 1) не совпадает с критическим на участке сети между 1 и 7 событиями. Его продолжительность, как было показано выше, составляет 14 дней, и, следовательно, резерв равен двум дням. Только двумя днями располагают руководители всех трех работ при непредвиденной задержке в их выполнении.

Все события, не лежащие на критическом пути, обладают резервом времени, который определяется как разность между поздним и ранним сроками его наступления:

Резерв времени события показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ. При большей задержке критический путь переместится на максимальный из путей, проходящих через данное событие i .

Так, для события 5 (рис.1) = 9 – 7 = 2 дн. При задержке этого события на 2 и более дней критический путь переместится на максимальный путь L 1 , проходящий через событие 5.

События, лежащие на критическом пути, имеют нулевой резерв времени , в том числе исходное и завершающее события.

Для работ сетевой модели определяются два резерва времени: полный и свободный.

Полный резерв времени работы - это резерв максимального из путей, проходящих через работу i,j

, (13)

где - поздний срок наступления конечного события этой работы;

Ранний срок наступления начального события этой работы;

Продолжительность выполнения работы.

Физический смысл этого параметра таков: этот резерв показывает, на сколько можно задержать начало или увеличить продолжительность отдельной работы, не изменяя директивного (или раннего, если директивный не задан) срока наступления завершающего события. В последнем случае (если директивный срок не задан) – не изменяя Т кр .

Обратим внимание на следующий важный момент: полный резерв принадлежит не одной работе, а всем путям, которые проходят через данную работу. Поэтому использование его полностью на одной из работ пути L аннулирует полные резервы времени всех работ , принадлежащих этому пути.

Например, = 2 дн. (см. рис.1), т.к. он определяется резервом пути L 1 . Если использовать его полностью на работе 5-7, то другие работы этого пути (1-2, 2-5) останутся без резервов времени.

Полные резервы времени принимают минимальное значение у работ, лежащих на критическом пути. Это свойство является необходимым и достаточным условием принадлежности работы критическому пути и используется для его нахождения при расчете сети. Минимальное значение полного резерва равно нулю, если Т дир не задан или превышает момент начала работ Т 0 на величину Т кр . В общем случае оно равно разности (Т кр - Т дир ).

Свободный резерв времени работы представляет собой максимальное время, на которое можно задержать начало или увеличить продолжительность работы i,j при условии, что все события сети наступают в свои ранние сроки:

. (14)

Свободный резерв образуется не у всех работ, а только у работ, непосредственно принадлежащих событиям, через которые проходят пути с различной продолжительностью. Это надо понимать так: если событию предшествует одна работа (например, работа 1-2 на рис.1), то для нее свободный резерв равен нулю по определению ( = 0), в других случаях – 0.

Свободный резерв является частью полного, и потому чаще на практике применяется другая формула:

где – резерв конечного события работы i,j .

Свободный резерв показывает, какая часть полного резерва времени работы может быть использована для увеличения ее продолжительности при условии, что это не вызовет изменения раннего срока наступления ее конечного события. Свободный резерв является независимым резервом, т.е. использование его на одной из работ не изменяет величины свободных резервов времени остальных работ сети. Используя свободный резерв времени, ответственный исполнитель может маневрировать в его пределах временем начала данной работы, ее окончания или ее продолжительностью, не затрагивая интересов других руководителей работ.

Практическое занятие №3

Расчет параметров сетевых графиков.

«Графический» способ

Для расчета параметров сетевых графиков предложен ряд способов:

а) непосредственно на самом графике (так называемый «графический» способ);

б) табличный способ;

в) матричный способ;

г) на основе машинных алгоритмов.

В средних и крупных комплексах такую работу выполняют специально выделенные работники, входящие в службу СПУ. В настоящее время на многих предприятиях и в организациях имеются стандартные и собственной разработки программы расчета параметров сети на ЭВМ.

«Графический» способ

Расчет параметров и запись результатов осуществляются на самом графике. Для этого сетевой график, желательно не имеющий пересечений, вычерчивается в укрупненном масштабе: диаметр кружков, изображающих на графике события, равен 15-25 мм. Кружки делятся на 4 сектора.

«Ключ» к чтению такого графика показан на рис. 2: в нижних секторах будем изображать номер события; в левых секторах – ранние сроки наступления событий; в правых – поздние сроки наступления событий; в верхних – резервы времени событий; в квадратных скобках под стрелкой – полный и свободный резерв каждой работы; над стрелкой – продолжительность работы.

Вначале график перечерчивается в укрупненном масштабе (рис. 4). Напомним, что продолжительность фиктивной работы равна нулю. И еще: не имеет значения, в какой сектор кружка направлена стрелка.

Параметры графика рассчитываются в следующем порядке.

1. Определение раннего срока наступления каждого события .

Для исходного события 1 имеем = 0 и это указывается в левом секторе. Для остальных событий в соответствии с формулой (2).

Это означает, что если в событие входит одна стрелка (например, событие 2), то к раннему сроку наступления предыдущего события 1 прибавляется продолжительность работы 1-2, а результат записывается в левом секторе события 2.

В событие 3 входит две работы: 1-3 и 2-3. Поэтому вначале получаем два значения: 0 + 4 = 4 и 2 + 7 = 9. Большее значение (9 дней) является ранним сроком наступления события 3, что и отмечается в его левом секторе.

Поскольку завершающее событие всегда лежит на критическом пути, можно сказать, что = = 19 дней. Через какие работы и события пройдет критический путь, мы не знаем, но его продолжительность уже определена при расчете первого параметра сети.

2. Определение поздних сроков наступления событий .

Расчет ведется от завершающего события (с конца графика) в строго обратном порядке. Поскольку у событий, лежащих на критическом пути, ранние и поздние сроки совпадают, то для завершающего события = = 19 дней, что и отмечено в правом секторе (рис. 5).

Для остальных событий в соответствии с формулой (3) можно записать . Для события 5 имеем = 19 – 4 = 15 дней, для события 6 = 19 – 2 = 17 дней, для события 4 = 15 – 0 = = 15 дней.

В эти события, идя с конца графика, можно попасть только одним путем, поэтому нет необходимости определять минимальное значение, как, например, для события 3. Из него выходят работы 3-4 и 3-6, поэтому вначале получаем два значения: 15 – 6 = 9 и 17 – 3 = 14. Меньшее значение (9 дней) является поздним сроком наступления события 3, что и отмечено в его правом секторе.

3. Определение резервов времени событий .

Расчет можно вести или с начала графика, или с его конца. Для любого события . Это значит, что для каждого события из значения его правого сектора надо вычесть значение левого сектора, а результат поставить в его верхний сектор (рис. 6).

4. Нахождение критического пути на графике, т.е. находятся события и работы, лежащие на критическом пути.

Процедуру можно осуществлять с начала или конца графика.

а) Необходимое условие принадлежности события критическому пути: , т.е. отыскивают последовательно события с нулевыми резервами времени.

б) Если из события с нулевым резервом выходит несколько работ, имеющих нулевой резерв конечного события, то проверяется достаточное условие принадлежности работы критическому пути:

5. Определение полного резерва времени работы .

Находим полные резервы только для работ, не лежащих на критических путях и не являющихся фиктивными, по формуле (13) . Результат записывается в квадратных скобках под стрелкой или рядом с ней. Так, для работы 1-3 полный резерв времени равен 9 – 4 – 0 = 5 дней, для работы 2-5 имеем 15 – 6 – 2 = 7 дней и т.д.

Напомним, что если у работы , то она обязательно лежит на критическом пути (это для самопроверки).

6. Определение свободного резерва времени работы .

Свободный резерв времени является частью полного, поэтому его определяют у тех же работ, не лежащих на критическом пути и не являющихся фиктивными, по формуле (15) . Расчет по этой формуле проще, чем по формуле (14), т.к. к этому времени полные резервы работ и резервы событий уже рассчитаны. Так, для расчета надо взять значение полного резерва работы 2-5 (7 дней) и вычесть из него резерв конечного события этой работы (0 дней), результат указать под стрелкой и закрыть квадратную скобку. Аналогично быстро рассчитываются свободные резервы других работ.

Практические советы:

б) для ускорения процесса расчета параметров этап 6 целесообразно совмещать с этапом 5, т.к. в сложных сетях каждый раз отыскивать на графике одну и ту же работу затруднительно.

Практическое занятие №4