Игра в чистых стратегиях. Решение игр в чистых стратегиях
Оптимальные чистые стратегии игроков отличаются от смешанных наличием обязательного единичного p i = 1, q i = 1. Например: P(1,0), Q(1,0). Здесь p 1 = 1, q 1 = 1.
Задача 1
По платёжной матрице найти оптимальные чистые стратегии, используя принцип строгого доминирования. В качестве ответа записать векторы P*, Q*.
R1 | R2 | R3 | R4 |
|
S1 | 3 | 1 | 2 | 5 |
S2 | 2 | 0 | 0 | 3 |
S3 | -3 | -5 | -5 | -2 |
S4 | 0 | -2 | -2 | 1 |
Решение:
Все задачи решаем с помощью калькулятора Матричная игра .
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.
| Игроки | B 1 | B 2 | B 3 | B 4 | a = min(A i) |
| A 1 | 3 | 1 | 2 | 5 | 1 |
| A 2 | 2 | 0 | 0 | 3 | 0 |
| A 3 | -3 | -5 | -5 | -2 | -5 |
| A 4 | 0 | -2 | -2 | 1 | -2 |
| b = max(B i) | 3 | 1 | 2 | 5 |
Верхняя цена игры b = min(b j) = 1.
Седловая точка (1, 2) указывает решение на пару альтернатив (A1,B2). Цена игры равна 1.
2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.
Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.
Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если a ij ≥ a kj для всех j Э N и хотя бы для одного j a ij > a kj . В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.
Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M a ij ≤ a il и хотя бы для одного i a ij < a il . В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.
Стратегия A 1 доминирует над стратегией A 2 (все элементы строки 1 больше или равны значениям 2-ой строки), следовательно исключаем 2-ую строку матрицы. Вероятность p 2 = 0.
Стратегия A 1 доминирует над стратегией A 3 (все элементы строки 1 больше или равны значениям 3-ой строки), следовательно исключаем 3-ую строку матрицы. Вероятность p 3 = 0.
| 3 | 1 | 2 | 5 |
| 0 | -2 | -2 | 1 |
С позиции проигрышей игрока В стратегия B 1 доминирует над стратегией B 2 (все элементы столбца 1 больше элементов столбца 2), следовательно исключаем 1-й столбец матрицы. Вероятность q 1 = 0.
С позиции проигрышей игрока В стратегия B 4 доминирует над стратегией B 1 (все элементы столбца 4 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 4-й столбец матрицы. Вероятность q 4 = 0.
| 1 | 2 |
| -2 | -2 |
Мы свели игру 4 x 4 к игре 2 x 2.
Решение игры (2 x n
p 1 = 1
p 2 = 0
Цена игры, y = 1
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений
q 1 = 1
q 1 +q 2 = 1
Решая эту систему, находим:
q 1 = 1.
Ответ:
Цена игры: y = 1, векторы стратегии игроков:
Q(1, 0), P(1, 0)
∑a ij q j ≤ v
∑a ij p i ≥ v
M(P 1 ;Q) = (1 1) + (2 0) = 1 = v
M(P 2 ;Q) = (-2 1) + (-2 0) = -2 ≤ v
M(P;Q 1) = (1 1) + (-2 0) = 1 = v
M(P;Q 2) = (2 1) + (-2 0) = 2 ≥ v
Поскольку из исходной матрицы были удалены строки и столбцы, то найденные векторы вероятности можно записать в виде:
P(1,0,0,0)
Q(0,1,0,0)
Задача 2
По платёжной матрице найти нижнюю и верхнюю цену игры. При наличии седловой точки записать векторы оптимальных чистых стратегий P*, Q*.
R1 | R2 | R3 |
|
S1 | -6 | -5 | 0 |
S2 | -8 | -3 | -2 |
S3 | -3 | -2 | 3 |
Решение:
1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
| Игроки | B 1 | B 2 | B 3 | a = min(A i) |
| A 1 | -6 | -5 | 0 | -6 |
| A 2 | -8 | -3 | -2 | -8 |
| A 3 | -3 | -2 | 3 | -3 |
| b = max(B i) | -3 | -2 | 3 |
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a i) = -3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A 3 .
Верхняя цена игры b = min(b j) = -3.
Седловая точка (3, 1) указывает решение на пару альтернатив (A3,B1). Цена игры равна -3.
Ответ: P(0,0,1), Q(1,0,0)
Задача 3
По платёжной матрице найти векторы оптимальных стратегий P*, Q*и цену игры. Кто из игроков оказывается в выигрыше?
R1 | R2 | R3 | R4 |
|
S1 | -6 | -6 | 2 | 4 |
S2 | 2 | -2 | 7 | -1 |
Решение:
1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.
| Игроки | B 1 | B 2 | B 3 | B 4 | a = min(A i) |
| A 1 | -6 | -6 | 2 | 4 | -6 |
| A 2 | 2 | -2 | 7 | -1 | -2 |
| b = max(B i) | 2 | -2 | 7 | 4 |
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a i) = -2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A 2 .
Верхняя цена игры b = min(b j) = -2.
Седловая точка (2, 2) указывает решение на пару альтернатив (A2,B2). Цена игры равна -2.
3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.
Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A 1 , правый - стратегии A 2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S 1 = (p 1 ,p 2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A 1 . На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A 2 .
Решение игры (2 x n ) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, для которой можно записать следующую систему уравнений:
p 1 = 0
p 2 = 1
Цена игры, y = -2
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию B 1 ,B 3 ,B 4 , которая дает явно больший проигрыш игроку B, и, следовательно, q 1 = 0,q 3 = 0,q 4 = 0.
-2q 2 = -2
q 2 = 1
Решая эту систему, находим:
q 2 = 1.
Ответ:
Цена игры: y = -2, векторы стратегии игроков:
Q(0, 1, 0, 0), P(0, 1)
4. Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.
∑a ij q j ≤ v
∑a ij p i ≥ v
M(P 1 ;Q) = (-6 0) + (-6 1) + (2 0) + (4 0) = -6 ≤ v
M(P 2 ;Q) = (2 0) + (-2 1) + (7 0) + (-1 0) = -2 = v
M(P;Q 1) = (-6 0) + (2 1) = 2 ≥ v
M(P;Q 2) = (-6 0) + (-2 1) = -2 = v
M(P;Q 3) = (2 0) + (7 1) = 7 ≥ v
M(P;Q 4) = (4 0) + (-1 1) = -1 ≥ v
Все неравенства выполняются как равенства или строгие неравенства, следовательно, решение игры найдено верно.
Задача 4
Дайте развернутый ответ на вопрос
Если в игре каждый из противников применяет только одну и ту же стратегию, то про саму игру в этом случае говорят, что она происходит в чистых стратегиях , а используемые игроком А и игроком В пара стратегий называются чистыми стратегиями .
Определение. В антагонистической игре пара стратегий (А i , В j) называется равновесной или устойчивой, если ни одному из игроков не выгодно отходить от своей стратегии.
Применять чистые стратегии имеет смысл тогда, когда игроки А и В располагают сведениями о действиях друг друга и достигнутых результатах. Если допустим, что хотя бы одна из сторон не знает о поведении противника, то идея равновесия нарушается, и игра ведется бессистемно.
Рассмотрим матричную игру G (3х4)
В этом примере нижняя цена игры равна верхней: ==9, т.е. игра имеет седловую точку.
Оказывается, что в этом случае максиминные стратегии А 2 и В 2 будут устойчивыми по отношению к информации о поведении противника.
Действительно, пусть игрок А узнал, что противник применяет стратегию В 2 . Но и в этом случае игрок А будет по-прежнему придерживаться стратегии А 2 , потому что любое отступление от стратегии А 2 только уменьшит выигрыш. Равным образом, информация, полученная игроком В , не заставит его отступить от своей стратегии В 2 .
Пара стратегий А 2 и В 2 обладает свойством устойчивости, а выигрыш (в рассматриваемом примере он равен 9), достигаемый при этой паре стратегий, оказывается седловой точкой платежной матрицы.
Признак устойчивости (равновесности) пары стратегии - это равенство нижней и верхней цены игры.
Стратегии А i и В j (в рассматриваемом примере А 2 , В 2), при котором выполняется равенство нижней и верхней цены игры, называются оптимальными чистыми стратегиями, а их совокупность - решением игры. Про саму игру в этом случае говорят, что она решается в чистых стратегиях.
Величина называется ценой игры.
Если 0, то игра выгодна для игрока А, если 0 - для игрока В; при =0 игра справедлива, т.е. является одинаково выгодной для обоих участников.
Однако наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее - исключение. Большинство матричных игр, не имеет седловой точки, а следовательно, не имеет оптимальных чистых стратегий. Впрочем, есть разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это - игры с полной информацией.
Теорема 2. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку, а следовательно, решается в чистых стратегиях, т.е. имеется пара оптимальных чистых стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный.
Если такая игра состоит только из личных ходов, то при применении каждым игроком своей оптимальной чистой стратегии она должна кончаться выигрышем, равным цене игры. Скажем, шахматная игра, как игра с полной информацией, либо всегда кончается выигрышем белых, либо всегда - выигрышем черных, либо всегда - ничьей (только чем именно - мы пока не знаем, так как число возможных стратегий в шахматной игре огромно).
Если матрица игры содержит седловую точку, то ее решение сразу находится по принципу максимина.
Возникает вопрос: как найти решение игры, платежная матрица которой не имеет седловой точки? Применение максиминного принципа каждым из игроков обеспечивает игроку А выигрыш не менее, игроку - проигрыш не больше. Учитывая что, естественно для игрока А желание увеличить выигрыш, а для игрока В - уменьшить проигрыш. Поиск такого решения производит к необходимости применять смешанные стратегии: чередовать чистые стратегии с какими-то частотами.
Определение. Случайная величина, значениями которой являются чистые стратегии игрока, называется его смешанной стратегией .
Таким образом, задание смешанной стратегии игрока состоит в указании тех вероятностей, с которыми выбираются его чистые стратегии.
Будем обозначать смешанные стратегии игроков А и В соответственно
S A =||p 1 , p 2 , ..., p m ||,
S B =||q 1 , q 2 , ..., q n ||,
где p i - вероятность применения игроком А чистой с тратегии А і ; ; q j - вероятность применения игроком В чистой стратегии B j ; .
В частном случае, когда все вероятности, кроме одной, равны нулю, а эта одна - единице, смешанная стратегия превращается в чистую.
Применение смешанных стратегий осуществляется, например, таким образом: игра повторяется много раз, но в каждой партии игрок применяет различные чистые стратегии с относительными частотами их применения, равными p i и q j .
Смешанные стратегии в теории игр представляют собой модель изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из игроков не знает, какую чистую стратегию выберет противник в данной партии.
Если игрок А применяет смешанную стратегию S A =||p 1 , p 2 , ..., p m ||, а игрок В смешанную стратегию S B =||q 1 , q 2 , ..., q n ||, то средний выигрыш (математическое ожидание) игрока А определяется соотношением
Естественно, что ожидаемый проигрыш игрока В равен такой же величине.
Итак, если матричная игра не имеет седловой точки, то игрок должен использовать оптимальную смешанную стратегию, которая обеспечит максимальный выигрыш.
Естественно возникает вопрос: какими соображениями нужно руководствоваться при выборе смешанных стратегий? Оказывается принцип максимина сохраняет свое значение и в этом случае. Кроме того, важное значение для понимания решения игр, играют основные теоремы теории игр.
теория игра стратегия смешанная
Смешанные стратегии
Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры.
Смешанная стратегия игрока - это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:
- * игра без седловой точки;
- * игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;
- * игра многократно повторяется в сходных условиях;
- * при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;
- * допускается осреднение результатов игр.
Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.
Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий А 1 , А 2 , ..., А т с соответствующими вероятностями р 1 , р 2, ..., р т.
Для игрока 2
q j -- вероятность применения чистой стратегии B j .
В случае когда р i = 1, для игрока 1 имеем чистую стратегию
Чистые стратегии игрока являются единственно возможными несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах и средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1:
где и - векторы;
p i и q i - компоненты векторов.
Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стремится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 - довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть
Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие
Обозначим и векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков 1 и 2, т.е. такие векторы и, при которых будет выполнено равенство
Цена игры - средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры является:
- - оптимальная смешанная стратегия игрока 1;
- - оптимальная смешанная стратегия игрока 2;
Цена игры.
Смешанные стратегии будут оптимальными (и), если образуют седловую точку для функции т.е.
Существует основная теорема математических игр.
Для матричной игры с любой матрицей А величины
существуют и равны между собой: = = .
Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.
Решить игру - означает найти цену игры и оптимальные стратегии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных смешанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 22. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следует отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить две оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмечалось, эти смешанные стратегии записываются так:
Значит, имеется платежная матрица
a 11 p 1 + a 21 p 2 = ; (1.16)
a 12 p 1 + a 22 p 2 = ; (1.17)
p 1 + p 2 = 1. (1.18)
a 11 p 1 + a 21 (1 - p 1) = a 12 p 1 + a 22 (1 - p 1); (1.19)
a 11 p 1 + a 21 - a 21 p 1 = a 12 p 1 + a 22 - a 22 p 1 , (1.20)
откуда получаем оптимальные значенияи:
Зная и, находим:
Вычислив, находим и:
a 11 q 1 + a 12 q 2 = ; q 1 + q 2 = 1; (1.24)
a 11 q 1 + a 12 (1 - q 1) = . (1.25)
при a 11 a 12 . (1.26)
Задача решена, так как найдены векторы и цена игры. Имея матрицу платежей А, можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 2.1).
- 1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.
- 2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А 1 .
- 3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши при стратегии a 2 .
- 4. Концы отрезков обозначаются для a 11 -b 11 , a 12 -b 21 , a 22 -b 22 , a 21 -b 12 и проводятся две прямые линии b 11 b 12 и b 21 b 22 .
- 5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна. Абсцисса точки с равна р 2 (р 1 = 1 - р 2).
Рис. 1.1.
Данный метод имеет достаточно широкую область приложения. Это основано на общем свойстве игр тп, состоящем в том, что в любой игре тп каждый игрок имеет оптимальную смешанную стратегию, в которой число чистых стратегий не больше, чем min(m, n). Из этого свойства можно получить известное следствие: в любой игре 2п и т2 каждая оптимальная стратегия и содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2п и т2 может быть сведена к игре 22. Следовательно, игры 2п и т2 можно решить графически. Если матрица конечной игры имеет размерность тп, где т > 2 и п > 2, то для определения оптимальных смешанных стратегий используется линейное программирование.
Выбор игроком того или иного действия называется ходом . Ходы бывают личные (игрок сознательно принимает то или иное решение) и случайные (исход игры не зависит от воли игрока). Набор правил, которые определяют, какой ход игроку необходимо сделать, называется стратегией . Стратегии бывают чистыми (неслучайные решения игроков) и смешанными (стратегию можно рассматривать как случайную величину).
Седловая точка
В теории игр С. т. (седловой элемент ) - это наибольший элемент столбца матрицы игры , который одновременно является наименьшим элементом соответствующей строки (в игре двух лиц с нулевой суммой ). В этой точке, следовательно, максимин одного игрока равен минимаксу другого; С. т. есть точка равновесия .
Теорема о минимаксе
Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией .
Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" максиминной и минимаксной стратегий, называется принципом минимакса . Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.
Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет действовать неблагоприятным образом, т.е. будет стараться "навредить".
Функция потерь
Функция потерь – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения между истинным значением оцениваемого параметра и оценкой параметра
Оптимальная Смешанная стратегия игрока - это полный набор применения его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями.
Смешанная стратегия игрока - это полный набор применения его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями.
1. Если все элементы строки не больше соответствующих элементов другой строки, то исходная строка может быть вычеркнута из платежной матрицы. Аналогично для столбцов.
2. Цена игры единственна.
Док-во: допустим, что есть 2 цены игры v и , которые достигаются на паре и соответственно, тогда
3. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить одно и то же число, то оптимальные смешанные стратегии не изменятся, а цена игры увеличится на это число.
Док-во:
, где 
4. Если все элементы платежной матрицы умножить на одно и то же число не равное нулю, цена игры умножится на это число, а оптимальные стратегии не изменятся.
Если в игре каждый из противников применяет одну и ту же стратегию, то про эту игру говорят, что она происходит в чистых стратегиях, а стратегии игроков А и В будут называться чистыми стратегиями .В антагонистической игре пара стратегий называется равновесной (устойчивой), если ни одному из игроков невыгодно отступать от своих стратегий.Применять чистые стратегии имеет смысл, если игроки знают о действиях противника. Если этого нет, то идея равновесия нарушается и игра может вестись как получится.Стратегии А1 В1 – устойчивы по отношению к информации о поведении противника.Признаком устойчивости пары стратегий это равенство верхней и нижней цены игры. И случай А1 В1 будет
ν = α = β. ν > 0, то игрок А будет в выигрыше, если ν < 0, то в выигрыше игрок В. Если ν = 0, в этом случае игра справедлива для обоих игроков. Не все матричные игры имеют седловые точки.
Теорема: каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и следовательно решает в чистых стратегиях, т.е. имеется пара устойчивых стратегий, дающих устойчивый выигрыш равный ν.Если матрица не имеет седловую точку, то цена игры лежит α<ν<β. Это означает, что первый игрок, используя максиминный принцип, обеспечит себе выигрыш не менее, чем α. А второй игрок придерживаясь минимаксного подхода обеспечит себе проигрыш не больше верхней цены игры. Игра будет оптимальна, если оба игрока будут применять смешанные стратегии.Случайная величина, значениями которой являются чистые стратегии, называется смешанной стратегией для этого игрока.
Задать смешанную стратегию это значит задать те вероятности, с которыми используются чистые стратегии.
S A = || p 1 , p 2 …. p m || ,S B = || q1, q2 …. q m || , A: ∑ pi = 1 ,B: ∑ qi = 1
Игра может повторяться несколько раз, но в каждой партии игрок придерживается смешанной стратегии, где чистые стратегии придерживаются вероятности p i и q j .
Модель смешанные стратегий отличается от модели чистых стратегий. В случае смешанных стратегий тактика поведения игроков будет более гибкой, т.к. игроки знают заранее какую чистую стратегию они применят.
Предположим что и игрок А и игрок В придерживаются смешанной стратегии. Необходимо определить А: ∑∑ a ij p i q j
Для игрока В ожидаемый проигрыш равен ожидаемому выигрышу игрока А. Выигрыш первого игрока и средний проигрыш второго игрока равны друг другу.
18.Методы решения конечной игры двух лиц порядка m*n.
Предположим, что все элементы платёжной матрицы 0≤aij. Тогда α≤ν≤β. Согласно основной теореме матричных игр, любая матричная игра имеет 2 оптимальные смешанные стратегии.
S A = (p 1 , p 2 , … , p n)
S B = (p 1 , p 2 , … , p n)
Решаем игру для игрока А, при этом предполагая что игрок В использует только чистые стратегии. Тогда
a 11 p 1 + a 21 p 2 + … + a m1 p m ≥ ν: B 1
a 12 p 1 + a 22 p 2 + … + a m2 p m ≥ ν: B 2 (1)
a 1n p 1 + a 2n p 2 + … + a mn p m ≥ ν: B n
X 1 = P 1 /ν , X 2 = P 2 /ν … X m = P m /ν
a 11 X 1 … + a m1 p m ≥ 1
a 1n X 1 … + a m1 p m ≥ 1 (2)
p 1 +p 2 +…+p m =1
X 1 +X 2 +…+X m = 1/ν (3)
L(x) = X 1 +X 2 +…+X m -> min (4)
Определим задачу линейного программирования.
ν = 1/(X 1 0 +X 2 0 …X m 0) (5)
P1 = X 1 0 *ν опт
p2 = X 2 0 *ν опт (6)
min L(x) = ∑x i
∑a ij: 1≤x i (7) (прямая задача)
0≤x i (i=1,2..)
a 11 q 1 + a 21 q 2 + … + a m1 q m < ν: A 1
a 21 q 1 + a 22 q 2 + … + a m2 q m < ν: A 2 (8)
a m1 q 1 + a m2 q 2 + … + a mn q m < ν: A m
Y 1 = q 1 /ν , Y 2 = q 2 /ν … Y m = q m /ν
q 1 +q 2 +…+q n =1
y 1 +y 2 +…+y n =1/ν
L(y)=∑y j -> max
∑a ij , y i ≤1 (i=1,2…) (9) (двойственная задача)
y 1 0 +y 2 0 …y m 0 = 1/ν опт
ν опт = 1/∑y m 0
Q1 = y 1 0 *ν опт
q2 = y 2 0 *ν опт
ν=1/∑x i = 1/∑y i = 1/min L(x) = 1/ max L(y) (11)
| B 1 | B 2 | B 3 | α i | |
| A 1 | ||||
| A 2 | ||||
| A 3 | ||||
| β j |
1) α = 1, β = 3
2) Нет упрощений.
L(x)=x 1 +x 2 +x 3 => min
x 1 +3x 2 +x 3 >= 1
2x 1 +x 2 +x 3 >=1
3x 1 +x 2 +x 3 >=1
x 1 =2/9, x 2 =2/9, x 3 =1/9
ν=1/(2/9+2/9+1/9)=9/5
p 1 =x 1 *ν=2/5
S A =(2/5, 2/5, 1/5)
двойственная задача
L(y) = y 1 +y 2 +y 3 => max
y 1 +2y 2 +3y 3 ≤ 1 y 1 =2/9
3y 1 +y 2 +y 3 ≤1 => y 2 =2/9 max L(y) = 5/9
y 1 +3y 2 +y 3 ≤1 y 3 =1/9
ν=1/(2/9+2/9+1/9)=9/5
q 1 =y 2 *ν=(2/9)*(9/5)=2/5
q 2 =(2/9)*(9/5)=2/5
q 3 =(1/9)*(9/5)=1/5
S B =(2/5, 2/5, 1/5)
Задача mxn сводится к задаче линейного программирования.
Приближённый метод решения матричных игр mxn (Браун-Робинсон).
Игрок А и игрок В поочерёдно применяют чистые стратегии. Каждый игрок пытается увеличить свой выигрыш, используя максиминые или минимаксные подходы. Минимизируется (максимизируется) не средний выигрыш, а накопленный. В теории показывается, что такой метод неизбежно даст нам оптимальный выигрыш и оптимальные смешанные стратегии.
| В 1 | В 2 | В 3 | |
| А 1 | |||
| А 2 | |||
| А 3 | |||
| 3 * | 8 * | 9 * | 36 * | ||||||
| 3 * | 4 * | 12 * | 13 * | ||||||
| 7 * | |||||||||
| 1 * | |||
| 3 * | |||
| 4 * | |||
| 6 * | |||
| 9 * | |||
| 10 * | |||
| 12 * | |||
| 34 * |
