Решение рациональных неравенств методом интервалов калькулятор. Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств

Метод интервалов - это универсальный способ решения практически любых неравенств, которые встречаются в школьном курсе алгебры. Он основан на следующих свойствах функций:

1. Непрерывная функция g(x) может изменить знак только в той точке, в которой она равна 0. Графически это означает, что график непрерывной функции может перейти из одной полуплоскости в другую, только если пересечет ось абсцисс (мы помним, что ордината любой точки, лежащей на оси ОХ (оси абсцисс) равна нулю, то есть значение функции в этой точке равно 0):

Мы видим, что функция y=g(x), изображенная на графике пересекает ось ОХ в точках х= -8, х=-2, х=4, х=8. Эти точки называются нулями функции. И в этих же точках функция g(x) меняет знак.

2. Функция также может менять знак в нулях знаменателя - простейший пример хорошо известная функция :

Мы видим, что функция меняет знак в корне знаменателя, в точке , но при этом не обращается в ноль ни в одной точке. Таким образом, если функция содержит дробь, она может менять знак в корнях знаменателя.

2. Однако, функция не всегда меняет знак в корне числителя или в корне знаменателя. Например, функция y=x 2 не меняет знак в точке х=0:

Т.к. уравнение x 2 =0 имеет два равных корня х=0, в точке х=0 функция как бы дважды обращается в 0. Такой корень называется корнем второй кратности.

Функция меняет знак в нуле числителя, , но не меняет знак в нуле знаменателя: , так как корень - корень второй кратности, то есть четной кратности:

Важно! В корнях четной кратности функция знак не меняет.

Обратите внимание! Любое нелинейное неравенство школьного курса алгебры, как правило, решается с помощью метода интервалов.

Предлагаю вам подробный , следуя которому вы сможете избежать ошибок при решении нелинейных неравенств .

1. Для начала необходимо привести неравенство к виду

Р(х)V0,

где V- знак неравенства: <,>,≤ или ≥. Для этого необходимо:

а) перенести все слагаемые в левую часть неравенства,

б) найти корни получившегося выражения,

в) разложить левую часть неравенства на множители

г) одинаковые множители записать в виде степени.

Внимание! Последнее действие необходимо сделать, чтобы не ошибиться с кратностью корней - если в результате получится множитель в четной степени, значит, соответствующий корень имеет четную кратность.

2. Нанести найденные корни на числовую ось.

3. Если неравенство строгое, то кружки, обозначающие корни на числовой оси оставляем "пустыми", если неравенство нестрогое, то кружки закрашиваем.

4. Выделяем корни четной кратности - в них Р(х) знак не меняет.

5. Определяем знак Р(х) на самом правом промежутке. Для этого берем произвольное значение х 0 , которое больше большего корня и подставляем в Р(х) .

Если P(x 0)>0 (или ≥0), то в самом правом промежутке ставим знак "+".

Если P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

При переходе через точку, обозначающую корень четной кратности знак НЕ МЕНЯЕТСЯ.

7. Еще раз смотрим на знак исходного неравенства, и выделяем промежутки нужного нам знака.

8. Внимание! Если наше неравенство НЕСТРОГОЕ, то условие равенства нулю проверяем отдельно.

9. Записываем ответ.

Если исходное неравенство содержит неизвестное в знаменателе , то также переносим все слагаемых влево, и приводим левую часть неравенства к виду

(где V- знак неравенства: < или >)

Строгое неравенство такого вида равносильно неравенству

НЕстрогое неравенство вида

равносильно системе :

На практике, если функция имеет вид , то поступаем следующим образом:

1. Находим корни числителя и знаменателя.
2. Наносим их на ось. Все кружки оставляем пустыми. Затем, если неравенство не строгое, то корни числителя закрашиваем, а корни знаменателя всегда оставляем пустыми.
3. Далее следуем общему алгоритму:
4. Выделяем корни четной кратности (если числитель и знаменатель содержат одинаковые корни, то считаем, сколько раз встречаются одинаковые корни). В корнях четной кратности смены знака не происходит.
5. Выясняем знак на самом правом промежутке.
6. Расставляем знаки.
7. В случае нестрого неравенства условие равенства условие равенства нулю проверяем отдельно.
8. Выделяем нужные промежутки и отдельно стоящие корни.
9. Записываем ответ.

Чтобы лучше понять алгоритм решения неравенств методом интервалов , посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором подробно разбирается пример решения неравенства методом интервалов .

Метод интервалов является универсальным методом решения неравенств, в частности, он позволяет решать квадратные неравенства с одной переменной. В этой статье мы подробно осветим все нюансы решения квадратных неравенств методом интервалов. Сначала приведем алгоритм, после чего детально разберем готовые решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Алгоритм

Первое знакомство с методом интервалов обычно происходит на уроках алгебры, когда учатся решать квадратные неравенства. При этом алгоритм метода интервалов дают в виде, адаптированном именно к решению квадратных неравенств. Отдавая дань простоте, мы тоже дадим его в таком виде, а общий алгоритм метода интервалов Вы можете посмотреть по ссылке в самом начале этой статьи.

Итак, алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов таков:

• Находим нули квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c из левой части квадратного неравенства.
• Изображаем и при наличии корней отмечаем их на ней. Причем если решаем строгое неравенство, то отмечаем их пустыми (выколотыми) точками, а если решаем нестрогое неравенство – то обычными точками. Они разбивают координатную ось на промежутки.
• Определяем, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге были найдены нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет), как это сделать расскажем чуть ниже. И проставляем над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
• Если решаем квадратное неравенство со знаком > или ≥, то наносим штриховку над промежутками со знаками +, если же решаем неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаем , которое и является искомым решением неравенства.
• Записываем ответ.

Как и обещали, разъясняем третий шаг озвученного алгоритма. Существует несколько основных подходов, позволяющих находить знаки на промежутках. Будем их изучать на примерах, и начнем с надежного, но не самого быстрого способа, заключающегося в вычислении значений трехчлена в отдельно взятых точках промежутков.

Возьмем трехчлен x 2 +4·x−5 , его корнями являются числа −5 и 1 , они разбивают числовую ось на три промежутка (−∞, −5) , (−5, 1) и (1, +∞) .

Определим знак трехчлена x 2 +4·x−5 на промежутке (1, +∞) . Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Целесообразно брать такое значение переменной, чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, например, можно взять x=2 (с этим числом вычисления проводить проще, чем, к примеру, с 1,3 , 74 или ). Подставляем его в трехчлен вместо переменной x , в результате получаем 2 2 +4·2−5=7 . 7 – положительное число, это означает, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак +.

Для закрепления навыков определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем со знака на интервале (−5, 1) . Из этого интервала лучше всего взять x=0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной, имеем 0 2 +4·0−5=−5 . Так как −5 – отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными, следовательно, мы определили знак минус.

Осталось выяснить знак на промежутке (−∞, −5) . Возьмем x=−6 , подставляем его вместо x , получаем (−6) 2 +4·(−6)−5=7 , следовательно, искомым знаком будет плюс.

Но быстрее расставить знаки позволяют следующие факты:

• Когда квадратный трехчлен имеет два корня (при положительном дискриминанте), то знаки его значений на промежутках, на которые эти корни разбивают числовую ось, чередуются (как в предыдущем примере). То есть, достаточно определить знак на одном из трех промежутков, и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей знаков: +, −, + или −, +, −. Более того, можно вообще обойтись без вычисления значения квадратного трехчлена в точке промежутка, а сделать выводы о знаках по значению старшего коэффициента a: если a>0, то имеем последовательность знаков +, −, +, а если a<0 – то −, +, −.
• Если же квадратный трехчлен имеет один корень (когда дискриминант равен нулю), то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. То есть, достаточно определить знак над одним из них, а над другим – поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −. Вывод по знакам можно также сделать на основе значения коэффициента a: если a>0 , то будет +, +, а если a<0 , то −, −.
• Когда квадратный трехчлен корней не имеет, то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a , так и со знаком свободного члена c . Для примера рассмотрим квадратный трехчлен −4·x 2 −7 , он не имеет корней (его дискриминант отрицательный), и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x 2 есть отрицательное число −4 , и свободный член −7 тоже отрицателен.

Теперь все шаги алгоритма разобраны и остается рассмотреть примеры решения квадратных неравенств с его использованием.

Примеры с решениями

Переходим к практике. Решим несколько квадратных неравенств методом интервалов, затронем основные характерные случаи.

Пример.

Решите неравенство 8·x 2 −4·x−1≥0 .

Решение.

Проведем решение этого квадратного неравенства методом интервалов. Он на первом шаге подразумевает поиск корней квадратного трехчлена 8·x 2 −4·x−1 . Коэффициент при x четный, поэтому удобнее вычислять не дискриминант, а его четвертую часть: D"=(−2) 2 −8·(−1)=12 . Так как он больше нуля, то находим два корня и .

Теперь отмечаем их на координатной прямой. Несложно видеть, что x 1

Дальше по методу интервалов определяем знаки на каждом из трех полученных интервалов. Это удобнее и быстрее всего сделать на основе значения коэффициента при x 2 , он равен 8 , то есть, положителен, следовательно, последовательность знаков будет +, −, +:

Так как мы решаем неравенство со знаком ≥, то изображаем штриховку над промежутками со знаками плюс:

По полученному изображению числового множества не составляет труда описать его аналитически: или так . Так мы решили исходное квадратное неравенство.

Ответ:

или .

Пример.

Выполните решение квадратного неравенства методом интервалов.

Решение.

Находим корни квадратного трехчлена, находящегося в левой части неравенства:

Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7 :

Теперь определяем знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞) . Это легко сделать, учитывая, что дискриминант квадратного трехчлена равен нули, а старший коэффициент отрицателен. Имеем знаки −, −:

Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Хорошо видно, что решениями являются оба промежутка (−∞, 7) , (7, +∞) .

Ответ:

(−∞, 7)∪(7, +∞) или в другой записи x≠7 .

Пример.

Имеет ли квадратное неравенство x 2 +x+7<0 решения?

Решение.

Для ответа на поставленный вопрос решим данное квадратное неравенство, и коль скоро мы разбираем метод интервалов, то им и воспользуемся. Как обычно, начинаем с поиска корней квадратного трехчлена из левой части. Находим дискриминант: D=1 2 −4·1·7=1−28=−27 , он меньше нуля, значит, действительных корней нет.

Поэтому, просто изображаем координатную прямую, не отмечая на ней никаких точек:

Теперь определяем знак значений квадратного трехчлена. При D<0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак +:

Мы решаем неравенство со знаком <, поэтому штриховку следует изобразить над промежутками со знаком −, но таковых нет, и в силу этого штриховку не наносим, а чертеж сохраняет свой вид.

В результате мы имеем пустое множество, а это значит, что исходное квадратное неравенство решений не имеет.

Ответ:

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f(x) > 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:

1. Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
3. Найти кратность корней. Если корни четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество одинаковых решений)
4. Выяснить знак (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
5. Отметить знаки на остальных интервалах, чередуя их.

После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f(x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x) < 0.

В случае с нестрогими неравенствами(≤ , ≥) необходимо включить в интервалы точки, которые являются решением уравнения f(x) = 0;

Пример 1:

Решить неравенство:

(x - 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов.

Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x - 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Получили два корня.

Шаг 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаем, что f(3) = 10 > 0 (10 - это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Шаг 4: нужно отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси.

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x - 2)(x + 7) < 0

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Пример 2:

Решить неравенство:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Решение:

Для начала необходимо найти корни уравнения

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Свернем первую скобку, получим:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Решив эти уравнения получим:

Нанесем точки на числовую прямую:

Т.к. x 2 и x 3 - кратные корни, то на прямой будет одна точка и над ней “петля ”.

Возьмем любое число меньшее самой левой точки и подставим в исходное неравенство. Возьмем число -1.

Не забываем включать решение уравнения (найденные X), т.к. наше неравенство нестрогое.

Ответ: {} U }