Задачи по гидравлике разные. Давление в жидкости и газах

⁰

Внутреннее трение в жидкости.

1. Расход жидкости в трубке тока:

а) объемный расход:

б) массовый расход:

где S – площадь поперечного сечения трубки тока;

v – скорость жидкости;

ρ – плотность жидкости.

2. Уравнение неразрывности струи:

где S 1 и S 2 – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах;

v 1 и v 2 – соответствующие скорости течений.

3. Уравнение Бернулли:

4. Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:

где h – уровень жидкости относительно отверстия.

5. Поверхностное натяжение:

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l , ограничивающий поверхность жидкости.

6. Формула Лапласа, выражающая давление Р , создаваемое сферической поверхностью жидкости:

где R – радиус сферической поверхности.

7. Высота подъема жидкости в капиллярной трубке определяется по формуле Жюрена:

где Θ – краевой угол;

ρ – плотность жидкости;

r – радиус капилляра.

8. Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными плоскостями:

где d – расстояние между плоскостями.

9. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку:

где r – радиус трубки;

l – длина трубки;

Δр – разность давлений на концах трубки,

η – коэффициент внутреннего сопротивления.

10. Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках

где (v) – средняя по сечению скорость течения жидкости;
d – диаметр трубки.

11. Число Рейнольдса для движения шарика в жидкости:

где v – скорость шарика;

d – диаметр шарика.

12. Сила сопротивления F , действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик (формула Стокса):

где r – радиус шарика;

v – скорость шарика.

Задачи.

1. Найти скорость течения по трубе углекислого газа, если известно, что за полчаса через поперечное сечение трубы протекает 0,51 кг газа. Плотность газа принять равной 7,5 кг/м 3 . Диаметр трубы равен 2 см.

2. В дне цилиндрического сосуда имеется круглое отверстие диаметром d =1 см. Диаметр сосуда D =0,5 м. Найти зависимость скорости v понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти численное значение этой скорости для высоты h =0,2 м.

Молоко течёт по молокопроводу диаметром 38 мм (установка УДС-1). На одном участке диаметр трубы уменьшился до 30 мм. На сколько изменится давление молока в этом участке трубы по сравнению с остальной частью трубы? Скорость течения молока в основной части трубы 2м/с.

4. Как высотой h =1,5 м наполнен до краёв водой. На расстоянии d =1 м от верхнего края бака образовалось отверстие малого диаметра. На каком расстоянии l от бака падает на пол струя, вытекающая из отверстия.

5. Струя воды с площадью S 1 поперечного сечения, равной 4 см 2 , вытекает в горизонтальном направлении из брансбойда, расположенного на высоте Н =2 м над поверхностью Земли, и падает на эту поверхность на расстоянии l =8 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха движению воды, найти избыточное давление Р воды в рукаве, если площадь S 2 поперечною сечения рукава равна 50 см 2 .

6. Трубка имеет диаметр d =0,2 см. На нижнем конце трубки повисла капля воды, имеющая в момент отрыва вид шарика. Найти диаметр d 2 этой капли.

7. Масса m 100 капель спирта, вытекающего из капилляра, равна 0,71 г. Определить поверхностное натяжение α спирта, если диаметр d шейки капли в момент отрыва равен 1 мм.

8. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром d внутреннего канала, равным 1 мм. Найти массу воды m , вошедшей в трубку.

9. Капиллярная трубка диаметром d =0,5 мм наполнена водой. На нижнем конце трубки вода нависла в виде капли. Эту каплю можно принять за часть сферы радиуса r =3 мм. Найти высоту h столбика воды в трубке.

10. Какую работу А надо совершить при выдувании пузыря, чтобы увеличить его объем от V 1 =8 см 3 до V 2 = 16 см 3 ? Считать процесс изотермическим. (α =4 · 10 -2 Н/м).

11. Какая энергия выделится при слиянии двух капель ртути диаметром d 1 =0,8 мм и d 2 =1,2 мм в одну каплю. (α =0,5 Н/м, ρ =13,6 · 10 3 кг/м 3)

12. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d =5 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

13. В сосуде находится сыворотка крови, плотность которой 1026 кг/м 3 и α =6 ·10 -2 Н/м. На глубине 25 см от поверхности жидкости образовался пузырек воздуха диаметром 10 мкм. Определить давление воздуха в пузырьке, если атмосферное давление равно 750 мм. рт. столба.

14. Какой объем крови протекает через кровеносный сосуд длиной 50 мм и диаметром 3 см за 1 минуту, если на его концах имеется разность давлений в 2 мм. рт. ст. (η =4 · 10 -3 Па·с)

Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на всплывающий шарик, больше веса этого шарика.

16. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при которой движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является ещё ламинарным. Движение считать установившимся.(R е кр =0,5, ρ гл =1,26 · 10 3 кг/м 3 , ρ св =11,3 · 10 3 г/м 3 , η =1,48 Па·с)

17. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d =5 см со средней по сечению скоростью =10 см/с. Определить число Рейнольдса R e , для потока жидкости в трубе и указать характер течения жидкости.

18. По трубе течёт машинное масло. Максимальная скорость v max , при которой движение масла в этой трубе остаётся ещё ламинарным, равно 3,2 см/с. При какой скорости v движение глицерина в этой же трубе переходит из ламинарного в турбулентное?(R e =2300, ρ мм =0,9 кг/м 3 , ρ гл =1260 кг/м 3 , η мм =0,1 Па·с, η гл =1,48 Па·с)

19. Стальной шарик диаметром 1 мм падаете постоянной скоростью v =0,185 см/с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость касторового масла.( R ст =7870 кг/м 3 , R км =960 кг/м 3)

20. Льдина площадью поперечного сечения S =1 м 2 и высотой Н =0,4 м плавает в воде. Какую работу А надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Плотность воды ρ в =1000 кг/м 3 , плотность льда ρ л =900 кг/м 3 .

21. Найти добавочное давление р внутри мыльного пузыря диаметром d =10 см. Определить работу А , которую нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь.

22. Определить изменение свободной энергии ΔЕ поверхности мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от V 1 =10 см 3 до V 2 =2V 1 .

23. Воздушный пузырек диаметром d =2 мкм находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотность ρ воздуха в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях.

24. Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h =20 мм. Определить поверхностное натяжение σ глицерина, если диаметр d канала трубки равен 1 мм.

25. Широкое колено U-образного ртутного манометра имеет диаметр d 1 =4 см, узкое d 2 =0,25 см. Разность Δh уровней ртути в обоих коленах равна 200 мм. Найти давление р , которое показывает манометр, приняв во внимание поправку на капиллярность.

26. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью v 1 =2 м/с. Определить скорость v 2 нефти в узкой части трубы, если разность Δр давлений в широкой и узкой частях ее равна 6,65 кПа.

27. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, приложена сила F =15 Н. Определить скорость v истечения воды из наконечника спринцовки, если площадь S поршня равна 12 см 2 .

28. Струя воды диаметром d =2 см, движущаяся со скоростью v =10 м/с, ударяется о неподвижную плоскую поверхность, поставленную перпендикулярно струе. Найти силу F давления струи на поверхность, считая, что после удара о поверхность скорость частиц воды равна нулю.

29. Бак высотой Н =2 м до краев заполнен жидкостью. На какой высоте h должно быть проделано отверстие в стенке бака, чтобы место падения струи, вытекающей из отверстия, было на максимальном от бака расстоянии?

30. Из бака водонапорной башни, расположенного на высоте h =10 м, вода по трубе поступает в кран, находящийся вблизи поверхности земли. За какое время τ кран наполнит ведро объемом V=10 л? Диаметр выходного отверстия крана d=1 см. Сопротивлением течению жидкости в трубе и кране пренебречь.

31. Вода протекающая в широкой части горизонтальной трубы, имеет давление р =2 · 10 5 Па, в два раза больше атмосферного давления р 0 , и скорость v 1 =1 м/с (рис.). При каком соотношении диаметров D/d большой и малой трубы вода не будет вытекать из небольшого отверстия, расположенного в верхней части малой трубы?

32. В подвале дома вода отопительной системы поступает в трубу диаметром d 1 =4 см со скоростью v 1 =0,5 м/с под давлением р 1 =3 атм. Каковы скорость течения v 2 и давление в трубке р 2 диаметром d 2 =2,6 см на втором этаже, расположенном на 5 м выше?

33. Определить скорость полета струи из шприца диаметром d =4 см, на поршень которого давит сила F =30 Н. Площадь отверстия шприца много меньше площади поршня, сопротивлением воздуха пренебречь. Плотность жидкости ρ в =1000 кг/м 3 .

34. Цилиндр диаметром D заполнен водой и расположен горизонтально. С какой скоростью v перемещается в цилиндре поршень, если на него действует сила F , а из отверстия в дне цилиндра вытекает струя диаметром d ? Силу тяжести не учитывать. Плотность жидкости ρ .

35. какой скоростью v вытекает вода из маленького отверстия в дне широкого цилиндрического бака в момент времени, когда он заполнен до высоты h ? Какой объем воды Q нужно доливать в бак в единицу времени, чтобы уровень жидкости в баке остался неизменным? Площадь отверстия S .

36. Широкий сосуд с небольшим отверстием в дне наполнен водой и керосином. Пренебрегая вязкостью, найти скорость v вытекающей воды, если толщина слоя воды h 1 , а слоя керосина h 2 . Плотность воды ρ 1 , керосина – ρ 2 (ρ 1> ρ 2 ).

37. На гладкой горизонтальной поверхности стоит сосуд с водой. В боковой стенке сосуда у дна имеется малое отверстие площадью S . Какую силу F нужно приложить к сосуду, чтобы удержать его в равновесии, если высота уровня воды в сосуде равна h ? Плотность воды ρ .

Давление воздуха - сила, с которой воздух давит на земную поверхность. Измеряется в миллиметрах ртутного столба, миллибарах. В среднем она составляет 1,033 г. на 1 см. кв.

Причина, вызывающая образования ветра - разница атмосферного давления. Ветер дует из области более высокого атмосферного давления, в область с более низким. Чем больше разница в атмосферном давлении, тем сильнее ветер. Распределение атмосферного давления на Земле определяет направление ветров, господствующих в тропосфере на разных широтах.

Образуются при конденсации водяного пара в поднимающемся воздухе вследствие его охлаждения.
. Вода в жидком или твердом состоянии, выпадающая на земную поверхность, называется атмосферными осадками.

По происхождению выделяют два вида осадков:

выпадающие из облаков (дождь, снег, крупа, град);
образующиеся у поверхности Земли ( , роса, изморозь).
Измеряются осадки слоем воды (в мм.), который образуется, если выпавшая вода не стекает и не испаряется. В среднем за год на Землю выпадает 1130 мм. осадков.

Распределение осадков . Атмосферные осадки распределены по земной поверхности очень неравномерно. Одни территории страдают от избытка влаги, другие от её недостатка. Особенно мало получают осадков территории, расположенные вдоль северного и южного тропиков, где воздуха высоки и потребность в осадках особенно велика.

Главная причина такой неравномерности - размещение поясов атмосферного давления. Так, в области экватора в поясе низкого давления постоянно нагретый воздух содержит много влаги, он поднимается вверх, охлаждается и становится насыщенным. Поэтому в области экватора образуется много облаков, и идут обильные дожди. Немало осадков и в других областях земной поверхности, где низкое давление.

В поясах высокого давления преобладают нисходящие воздушные потоки. Холодный воздух, опускаясь, содержит мало влаги. При опускании он сжимается и нагревается, благодаря чему удаляется от точки насыщения, становится суше. Поэтому в областях повышенного давления над тропиками и у полюсов выпадает мало осадков.

По количеству выпадающих осадков ещё нельзя судить об обеспеченности территории влагой. Необходимо учитывать возможное испарение - испаряемость. Она зависит от количества солнечного тепла: чем больше его, тем больше влаги может испариться, если она есть. Испаряемость может быть большой, а испарение маленьким. Например, в испаряемость (сколько влаги может испариться при данной температуре) 4500 мм/год, а испарение (сколько действительно испаряется) всего 100 мм/год. По соотношению испаряемости и испарения судят об увлажненности территории. Для определения увлажнения пользуются коэффициентом увлажнения. Коэффициент увлажнения – отношение годового количества осадков к испаряемости за один и тот же промежуток времени. Он выражается дробью в процентах. Если коэффициент равен 1 - увлажнение достаточное, если меньше 1, увлажнение недостаточное, а если больше 1, то увлажнение избыточное. По степени увлажнения выделяются влажные (гумидные) и сухие (аридные) области.

Лабораторная работа № 11

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Важнейший признак жидкости - существование свободной поверхности . Молекулы поверхностного слоя жидкости, имеющего толщину порядка 10 -9 м, находятся в ином состоянии, чем молекулы в толще жидкости. Поверхностный слой оказывает на жидкость давление, называемое молекулярным , что приводит к появлению сил, которые называются силами поверхностного натяжения .

Силы поверхностного натяжения в любой точке поверхности направлены по касательной к ней и по нормали к любому элементу линии, мысленно проведенной на поверхности жидкости. Коэффициент поверхностного натяжения -физическая величина, показывающая силу поверхностного натяжения, действующую на единицу длины линии, разделяющей поверхность жидкости на части:

С другой стороны, поверхностное натяжение можно определить как величину, численно равную свободной энергии единицы поверхностного слоя жидкости. Под свободной энергией понимают ту часть энергии системы, за счет которой может быть совершена работа при изотермическом процессе.

Коэффициент поверхностного натяжения зависит от природы жидкости. Для каждой жидкости он является функцией температуры и зависит от того, какая среда находится над свободной поверхностью жидкости.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. Экспериментальная установка изображена на рис. 1. Она состоит из аспиратора А, соединенного с микроманометром М и сосудом В, в котором находится исследуемая жидкость. В аспиратор наливается вода. С помощью крана К аспиратор А может отсоединяться от сосуда В и присоединяться к такому же сосуду С с другой исследуемой жидкостью. Сосуды В и С плотно закрываются резиновыми пробками, имеющими по отверстию. В каждое отверстие вставляется стеклянная трубочка, конец которой представляет собой капилляр. Капилляр погружается на очень малую глубину в жидкость (так, чтобы он только касался поверхности жидкости). Микроманометр измеряет разность давления воздуха в атмосфере и аспираторе, или, что то же самое, в капилляре и сосуде В или С.

Микроманометр состоит из двух сообщающихся сосудов, один из которых представляет собой чашку большого диаметра, а другой наклонную стеклянную трубку малого диаметра (2 - 3 мм) (рис. 2). При достаточно большом отношении площадей сечений чашки и трубки можно пренебречь изменением уровня в чашке. Тогда по уровню жидкости в трубке малого диаметра можно определить измеряемую величину разности давлений:

где - плотность манометрической жидкости; - расстояние вдоль трубки принимаемого неизменным уровня жидкости в чашке; - угол, образованный наклонной трубкой с плоскостью горизонта.

В начальный момент времени, когда давление воздуха над поверхностью жидкости в капилляре и сосуде В одинаково и равно атмосферному, уровень смачивающей жидкости в капилляре выше, чем в сосуде В, а уровень несмачивающей – ниже, так как смачивающая жидкость в капилляре образует вогнутый мениск, а несмачивающая - выпуклый.

Молекулярное давление под выпуклой поверхностью жидкости больше, а под вогнутым - меньше относительно давления под плоской поверхностью. Молекулярное давление, обусловленное кривизной поверхности, принято называть избыточным капиллярным давлением (давлением Лапласа) . Избыточное давление под выпуклой поверхностью считается положительным, под вогнутой - отрицательным. Сила этого давления всегда направлена к центру кривизны сечения поверхности. В случае сферической поверхности избыточное давление можно вычислить по формуле:

где - поверхностное натяжение, - радиус сферической поверхности.

Смачивающая капилляр жидкость поднимается до тех пор, пока гидростатическое давление столбика жидкости высотой (рис. 3) не уравновесит избыточного давления, направленного в этом случае вверх. Высота определяется из условия равновесия:

где - ускорение свободного падения, т.е.

Если, повернув кран аспиратора А, медленно выпускать из него воду, то давление воздуха в аспираторе, в соединенных с ним сосуде В и наклонном колене микроманометра, начнет уменьшаться. В капилляре же над поверхностью жидкости давление равно атмосферному. В результате увеличивающейся разности давлений мениск жидкости в капилляре будет опускаться, сохраняя кривизну, пока не опустится до нижнего конца капилляра (рис. 3в). В этот момент давление воздуха в капилляре будет равно:

где - давление воздуха в сосуде В, - глубина погружения капилляра в жидкость, - давление Лапласа. Разность давлений воздуха в капилляре и сосуде В равна:

С этого момента начинает меняться кривизна мениска. Давление воздуха в аспираторе и сосуде В продолжает уменьшаться. Так как разность давлений увеличивается, радиус кривизны мениска убывает, а кривизна возрастает. Наступает момент, когда радиус кривизны становится равным внутреннему радиусу капилляра (рис. 3в), а разность давлений становится максимальной. Затем радиус кривизны мениска снова увеличивается, и равновесие будет неустойчивым. Образуется пузырек воздуха, который отрывается от капилляра и поднимается на поверхность. Жидкость затягивает отверстие. Далее все повторяется. На рис. 4 показано, как меняется радиус кривизны мениска жидкости, начиная с момента, когда он дошел до нижнего конца капилляра.

Из сказанного выше следует, что:

, (1)

где - внутренний радиус капилляра. Эту разность можно определить с помощью микроманометра, так как

где - плотность манометрической жидкости, - максимальное смещение уровня жидкости в наклонной трубке микроманометра, - угол между наклонным коленом микроманометра и горизонталью (см. рис. 2).

Из формул (1) и (2) получим:

. (3)

Так как глубина погружения капилляра в жидкость ничтожна , то ею можно пренебречь, тогда:

или , (4)

где - внутренний диаметр капилляра.

В том случае, когда жидкость не смачивает стенки капилляра, за в формуле (4) принимают внешний диаметр капилляра. В качестве манометрической жидкости в микроманометре используется вода ( = 1×10 3 кг/м 3).

ИЗМЕРЕНИЯ. 1. Плотно закрыть резиновой пробкой капилляр, предварительно измерив его внутренний диаметр с помощью микроскопа. Капилляр вставить в отверстие пробки. Конец трубки привести в соприкосновение с жидкостью.

2. Налить в аспиратор воду до метки и закрыть его. Добиться равенства давлений в обоих коленах микроманометра, для чего на короткое время извлечь кран К. Установить его в такое положение, в котором он соединяет сосуд с аспиратором.

3. Открыть кран аспиратора настолько, чтобы изменение давления происходило достаточно медленно. Пузырьки воздуха должны отрываться примерно через каждые 10-15 с. После установления указанной частоты образования пузырьков можно проводить измерения.

ЗАДАНИЕ.

1. С помощью термометра определить и записать комнатную температуру T .

2. Девять раз определить максимальное смещение уровня жидкости в наклонном колене микроманометра. Для расчета коэффициента поверхностного натяжения взять среднее значение Н ср .

При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не смешивать понятия абсолютного давления Р А, избыточного давления Р, вакуума Р ВАК, знать взаимосвязь между давлением (Па) и соответствующей ей пьезометрической высотой (h), уяснить понятие напора, знать закон Паскаля и свойства гидростатического давления.

При определении давления в точке объема или на точку площадки используется основное уравнение гидростатики (1.1.13).

При решении задач с системой сосудов необходимо составить уравнение абсолютных давлений, обеспечивающих неподвижность системы, т.е. равенства нулю алгебраической суммы всех действующих давлений. Уравнение составляется для какой - либо поверхности равного давления, выбранной в качестве поверхности отсчета.

Все единицы измерения величин следует принимать в системе СИ: масса – кг; сила – Н; давление – Па; линейные размеры, площади, объемы – м, м 2 , м 3 .

ПРИМЕРЫ

Пример 1.1.1 . Определить изменение плотности воды при ее нагревании от t 1 = 7 о С до t 2 = 97 о С, если коэффициент температурного расширения b t =0,0004 о С -1 .

Решение . При нагревании удельный объем воды увеличивается от V 1 до V 2 .

По формуле (1.1.1) плотность воды при начальной и конечной температурах составляет:

r 1 = М / V 1 , r 2 = М / V 2 .

Так как масса воды постоянна, то изменение плотности выражается:

Из формулы (1.4) увеличение объема воды , тогда

Примечание: изменение плотности жидкости при сжатии определяется аналогично с использованием коэффициента объемного сжатия по формуле (1.1.2). При этом V 2 = V 1 - DV.

Пример 1.1.2 . Определить объем расширительного бачка системы водяного охлаждения вместимостью 10 литров при нагревании от температуры t 1 = 15 о С до t 2 = 95 о С при давлении, близком к атмосферному.

Решение . Без учета коэффициента запаса объем бачка равен дополнительному объему воды при температурном расширении. Из формулы (1.1.4) увеличение объема воды

Плотности воды принимаем по таблице 1: r 1 = 998,9 кг/м 3 , r 2 = 961,8 кг/ м 3 . Коэффициент температурного расширения определяем по формуле (1.1.5):

Первоначальный объем V =10л = 10 . 10 -3 м 3 = 0,01 м 3 .

Дополнительный объем воды:

DV = 10 . 10 -3 (95 -15) 0,46 . 10 -3 = 368 . 10 -6 м 3 = 0,368 л

Пример 1.1.3 . В охлаждаемом сосуде газ, имеющий первоначальное давление Р 1 = 10 5 Па. и занимающий объем V 1 = 0,001 м 3 , сжимается до давления Р 2 = 0,5 . 10 6 Па. Определить объем газа после сжатия.

Решение . В случае охлаждаемого сосуда процесс является изотермическим (t = const) при котором уравнение состояния газа (1.1.8) принимает вид:

Р V = const или Р 1 V 1 = Р 2 V 2

Откуда определяем объем газа после сжатия

V 2 = Р 1 V 1 / Р 2 = 1 . 10 5 . 0.001 / 0,5 . 10 6 = 0,0002 м 3 =0,2 л.

Пример 1.1.4. Определить объем воды, который необходимо дополнительно подать в трубопровод диаметром d = 500 мм и длиной L = 1км, заполненный водой перед гидравлическим испытанием при атмосферном давлении и температуре t = 20 о С, для повышения давления в нем на DР = 5 . 10 6 Па. Материал труб считать абсолютно жестким.

Решение. Для определения дополнительного объема воды, который необходимо подать используем соотношение (1.1.2):

Первоначальный объем воды в трубопроводе равен объему трубопровода:

Приняв по справочным данным модуль объемной упругости воды

Е = 2 . 10 9 Па, определяем коэффициент объемного сжатия:

b V = 1 /Е = 1 / 2 . 10 9 = 5 . 10 -10 , Па -1

Преобразовывая соотношение (1.1.2) относительно DV, получаем:

b V DР V ТР + b V DР DV = DV; b V DР V ТР = (1 + b V DР) DV

Выражая DV, получаем искомый дополнительный объем:

Пример 1.1.5 . Определить среднюю толщину отложений d ОТЛ в трубопроводе внутренним диаметром d = 0,3 м и длиной L = 2 км, если при выпуске воды в количестве DV =0,05 м 3 давление в нем падает на величину DР = 1 . 10 6 Па.

Решение. Взаимозависимость изменения объема и давления воды характеризуется модулем объемной упругости.

Принимаем: Е = 2 . 10 9 Па.

Из формул (1.1.2) и (1.1.3) находим объем воды в трубопроводе с отложениями:

Этот же объем равен вместимости трубопровода:

Откуда определяем средний внутренний диаметр трубы с отложениями

Средняя толщина отложений составляет:

Пример 1.1.6 . Вязкость нефти, определенная по вискозиметру Энглера, составляет 8,5 о Е. Вычислить динамическую вязкость нефти, если ее плотность r = 850 кг/м 3 .

Решение . По эмпирической формуле Убеллоде (1.1.9) находим кинематическую вязкость нефти:

n = (0,0731 о Е – 0,0631 / о Е) 10 -4 =

= (0,0731 . 8,5 – 0.0631/8,5) = 0,614 . 10 -4 м 2 /с

Динамическую вязкость находим из соотношения (1.1.7):

m = n r = 0,614 . 10 -4 . 850 = 0,052 Па. с.

Пример 1.1.7 . Определить высоту подъема воды в капиллярной трубке диаметром d = 0,001 м при температуре t = 80 О С.

Решение. По справочным данным находим:

плотность воды при температуре 80 О С r = 971,8 кг/м 3 ;

поверхностное натяжение воды при температуре 20 О С s О = 0,0726 Н/м;

коэффициент b = 0,00015 Н/м О С.

По формуле (1.1.11) находим поверхностное натяжение воды при температуре 80 О С:

s = s О - b Dt = 0,0726 – 0,00015 . (80 -20) = 0,0636 Н/м

По формуле (1.1.12) изменение поверхностного давления, определяющего высоту капиллярного поднятия h КАП, составляет:

Р ПОВ = 2s / r или r g h КАП = 2s / r ,

откуда находим высоту подъема воды в трубке:

h КАП = 2 s / r g r = 2 . 0,0636 / 971,8 . 9,81 . 0,0005 =

0,1272 / 4,768 = 0,027 м =2,7 см.

Пример 1.1.8 . Определить абсолютное гидростатическое давление воды на дно открытого сосуда, наполненного водой. Глубина воды в сосуде h = 200 см. Атмосферное давление соответствует 755 мм рт. ст. Температура воды 20 о С. Выразить полученное значение давления высотой ртутного столба (r РТ = 13600 кг/м 3) и водного столба.

Решение: По основному уравнению гидростатики для открытого резервуара абсолютное давление в любой точке объема определяется по формуле (1.1.14):

Р А = Р а + r g h

По таблице 1 принимаем плотность воды при температуре 20 о С:

r = 998,23 кг/м 3 .

Переводя единицы измерения атмосферного давления и глубины воды в сосуде в систему СИ, определяем абсолютное давление на дне сосуда:

Р А = 755 . 133,322 + 998.23 . 9,81 . 2 =

100658 + 19585 = 120243 Па =120,2 КПа

Находим соответствующую высоту ртутного столба:

h А = Р/ r РТ g =120243 /13600 . 9,81 = 0, 902 м.

Находим высоту водного столба, соответствующую данному абсолютному давлению:

h А = Р А / r g = 120243 / 998,23 . 9,81 = 12, 3 м.

Это означает, что если к уровню дна сосуда присоединить закрытый пьезометр (трубку, в которой создан абсолютный вакуум), то вода в нем поднимется на высоту 12,3 м. Давление этого столба воды уравновешивает абсолютное давление, оказываемое на дно сосуда жидкостью и атмосферным давлением.

Пример 1.1 .9. В закрытом резервуаре с водой давление на свободной поверхности Р О =14,7 . 10 4 Па. На какую высоту Н поднимется вода в открытом пьезометре, присоединенном на глубине h = 5 м. Атмосферное давление соответствует h а = 10 м вод. ст.

Решение. Для решения данной задачи необходимо составить уравнение равенства абсолютных давлений со стороны резервуара и со стороны пьезометра относительно выбранной плоскости равного давления. Выберем плоскость равного давления 0-0 на уровне свободной поверхности в резервуаре.

Абсолютное давление со стороны резервуара на выбранном уровне равно поверхностному давлению:

Р А = Р О. (1)

Абсолютное давление на том же уровне со стороны жидкости в пьезометре складывается из атмосферного давления Р а и давления воды высотой h 1:

Р А = Р а + r g h 1 (2)

Так как система находится в равновесии (покое), то абсолютные давления со стороны резервуара и со стороны пьезометра уравновешиваются. Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим:

Р О = Р а + r g h 1 ,

Величина атмосферного давления в системе СИ составляет:

Р а = 9,806 . 10 000 мм = 9,806 . 10 4 Па.

Находим высоту превышения уровня воды в пьезометре над выбранной плоскостью равного давления:

h 1 = (Р О - Р а) / r g = (14,7 . 10 4 - 9,806 . 10 4) /1000 . 9,81 = 5 м.

Это превышение не зависит от точки подключения пьезометра, так как давления столбов жидкости высотой h ниже плоскости сравнения слева и справа взаимно компенсируются.

Общая высота воды в пьезометре больше высоты h 1 на глубину погружения точки присоединения пьезометра. Для данной задачи

Н = h 1 + h = 5 + 5 = 10 м.

Примечание: аналогичный результат можно получить, выбрав в качестве плоскости равного давления уровень подключения пьезометра.

Пример 1.1.10 . Построить эпюру абсолютного давления жидкости на ломаную стенку в открытом резервуаре.

Решение . Абсолютное давление в случае открытого резервуара определяется по формуле (1.1.14):

Р А = Р а + r g h, т.е. избыточное давление в каждой точке увеличивается на величину поверхностного давления (закон Паскаля).

Избыточное давление определяется:

в т. С: Р = r g . 0 = 0

в т. В: Р = r g . Н 2

в т. А: Р = r g (Н 2 + Н 1)

Отложим значение избыточного давления в точке В по нормали к стенке СВ и соединим с точкой С. Получим треугольник эпюры избыточного давления на стенку СВ. Для построения эпюры абсолютного давления в каждой точке необходимо добавить значение поверхностного давления (в данном случае атмосферного).

Аналогично ведется построение эпюры для отрезка АВ: Отложим значения избыточного давления в точке В и в точке А в направлении нормали к линии АВ, соединим полученные точки. Абсолютное давление получаем, увеличивая длину вектора на величину, соответствующую атмосферному давлению.

Пример 1.1.11. Определить абсолютное давление воздуха в сосуде с водой, если показание ртутного манометра h = 368 мм, Н = 1 м, плотность ртути r РТ =13600 кг/м 3 . Атмосферное давление соответствует 736 мм рт.ст.

Решение .

Выберем свободную поверхность ртути в качестве поверхности равного давления. Атмосферное давление на поверхности ртути уравновешивается абсолютным давлением воздуха в сосуде Р А, давлением столба воды высотой Н и столба ртути высотой h.

Составим уравнение равновесия и определим из него абсолютное давление воздуха (переводя все единицы в систему СИ):

Р а = Р А + r В g Н + r РТ g h , откуда

Р А = Р а - r В g Н - r РТ g h =

736 . 133,3 - 1000 . 9,81 . 1 - 13600 . 9,81 . 0,368 = 39202 Па

Так как абсолютное давление воздуха в сосуде меньше атмосферного, то в сосуде имеет место вакуум, равный разности атмосферного и абсолютного давлений:

Р ВАК = Р а – Р А = 736 . 133,3 - 39202 = 58907 Па = 59 КПа.

Примечание: тот же результат можно получить, выбрав в качестве поверхности равного давления свободную поверхность воды в сосуде или поверхность раздела воды и ртути.

Пример 1.1.12 . Определить избыточное давление Р О воздуха в напорном баке по показаниям батарейного ртутного манометра. Соединительные трубки заполнены водой. Отметки уровней даны в м. Какой высоты должен быть пьезометр для измерения этого давления?

Решение . Избыточное давление Р О = Р А – Р а в баке уравновешивается давлением столбов ртути и воды в манометре.

Давления взаимно уравновешивающихся высот на участках изгиба манометра из рассмотрения исключаем. Суммируя (с учетом направления действия давления) показания манометра от открытого конца до уровня свободной поверхности, составим уравнение равновесия:

Р О = r РТ g (1,8 – 0,8) - r В g (1,6 – 0,8) +r РТ g (1,6 – 0,6) - r В g (2,6 – 0,6) =

R РТ g (1,8 – 0,8 +1,6 – 0,6) - r В g (1,6 – 0,8 + 2,6 – 0,6) =

13600 . 9,81 . 2 – 1000 . 9,81 . 2.8 = 239364 Па = 0,24 МПа

Из формулы (1.16) находим высоту столба воды, соответствующую избыточному давлению Р О:

h ИЗБ = Р О / r В g = 0,24 . 10 6 / 1000 . 9,81= 24,5 м

Высота пьезометра выше на величину превышения свободной поверхности воды в баке над плоскостью с нулевой отметкой:

Н = h ИЗБ + 2,6 = 27,1 м.

Пример 1.13. Определить толщину s стальной стенки бака диаметром D = 4 м для хранения нефти (r Н = 900 кг/м 3) при высоте слоя нефти Н = 5 м. Давление на поверхности нефти Р О = 24,5 . 10 4 Па. Допустимое напряжение на растяжение материала стенки s = 140 МПа.

Решение . Расчетная толщина стенки круглого бака (без коэффициента запаса) определяется из условия сопротивления максимальному избыточному давлению. Атмосферное давление в баке не учитывается, так как оно компенсируется атмосферным давлением с внешней стороны бака.

Максимальное избыточное давление Р стенка испытывает у дна:

Р = Р А – Р а = Р О + r Н g Н - Р а =

24,5 . 10 4 + 900 . 9,81 . 5 – 10 . 10 4 = 18,91 . 10 4 Па

Расчетная толщина стенки определяется по формуле:

Пример 1.1.14. Определить перепад давлений воды в вертикальном трубном кольце, если в точке А она нагревается до температуры t 1 = 95 о С, а в точке В остывает до t 2 = 70 о С. Расстояние между центрами нагревания и охлаждения h 1 = 12 м.

Решение . Перепад давлений обусловлен разностью гидростатических давлений столба горячей воды в левой трубе и остывшей воды в правой трубе.

Давления столбов воды высотой h 2 в левой и правой трубах взаимно уравновешиваются и в расчете не учитываются, так как температура воды в них и, соответственно, плотность, одинаковы. Аналогично исключаем из расчета давления в левом и правом стояках высотой h 3 .

Тогда давление слева Р 1 = r Г g h 1 , давление справа Р 2 = r О g h 1 .

Перепад давлений составляет:

DР = Р 2 – Р 1 = r О g h 1 - r Г g h 1 = g h 1 (r О - r Г)

Принимаем по справочным данным (таблица 1) плотности воды при температуре t 1 = 95 о С и t 2 = 70 о С: r Г = 962 кг/м 3 , r О = 978 кг/м 3

Находим разность давлений

DР = g h 1 (r 2 - r 1) = 9,81 . 12 (978 –962) = 1882 Па.

Пример 1.1.15 . а) Определить избыточное давление воды в трубе, если Р МАН = 0,025 МПа, Н 1 = 0,5 м, Н 2 = 3 м.

б)Определить показания манометра при том же давлении в трубе, если вся трубка заполнена водой, Н 3 =5 м.

а)Решение . Избыточное давление в трубе уравновешено поверхностным давлением Р О = Р МАН в точке подключения манометра и системой столбов воды и воздуха в трубке. Давлением столбов воздуха можно пренебречь ввиду незначительности.

Составим уравнение равновесия с учетом направления давления столбов воды в трубке:

Р = Р МАН + r ВОД g Н 2 - r ВОД g Н 1 =

0,025 + 1000 . 9,81 . 10 -6 (3 – 0,5) = 0,025 + 0,025 = 0,05 МПа

б) Решение . Уравнение равновесия для данного случая

Р = Р МАН + r ВОД g Н 3 ,

откуда Р МАН = Р - r ВОД g Н 3 = 0,05 - 1000 . 9,81 . 10 -6 . 5 = 0,05 – 0,05 = 0 МПа.

Рухленко А.П.

ГИДРАВЛИКА

Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие

Для подготовки бакалавров по направлению

Агроинженерия

Тюмень – 2012

Рецензент:

кандидат технических наук, доцент А. Е. Королев.

Г 46 Рухленко А. П. Гидравлика. Примеры решения задач ТюмГСХА. - Тюмень, 2012.

Приведены примеры решения задач по всем основным разделам дисциплины. Пособие содержит 57 задач с подробным пояснением решения каждой.

Назначение данного пособия- помочь студентам в самостоятельном изучении и усвоении методики решения задач по всем темам курса.

Печатается по решению методической комиссии Механико-технологического института ТГСХА.

Сельскохозяйственная академия.

Предисловие

Важным условием усвоения студентами теоретического курса является умение использовать знания теоретических основ при решении конкретных инженерных задач. Именно решение задач развивает у студентов навыки к творческому инженерному мышлению, способствует развитию самостоятельности при решении инженерных вопросов, связанных с изучением этой дисциплины.

Все задачи в данном пособии размещены в порядке изучения дисциплины по тематикам, согласно рабочим программам по подготовке бакалавров направления 110800- агроинженерия.

Пособие предназначено для студентов очной и заочной формы обучения. Цель его – помочь студентам освоить методику решения задач по темам курса «Гидравлика». Особенно полезно, по мнению автора, пособие будет для студентов, пропускающих занятия, ибо оно поможет им в освоении данной дисциплины.

В таблице, приведенной ниже, указываются номера задач по каждой теме и литература для изучения теоретического материала по каждой теме.

Тематика практических занятий

по решению задач

Тема занятия	№№ задач по теме	Литература, стр. №

Физичес-кие свойства жидкостей	1,2	8..13	8..14	7..12	3..4	3…4
Гидроста-тическое давление	3,4,5,6,7,8,	20..25	19..25	17..20	5..7	7..8
Сила гидростати-ческого давления на плоские и криволи-нейные поверх-ности	9,10,11,12,13,14, 15,16,17,19,21	25..31	28..34	21..27	7..9	15..16
Уравнение Бернулли. Гидравли-ческие сопротив-ления	22,23,24,25,26,27 28,29,30,31,32	42..45 55..64	46..52 52..78	44..59	13..16 19..24	30..36
Истечение жидкости через отверстия, насадки, дроссели и клапаны	34,35,36,37,38,39, 40,41	72..79	78..89	63..76	25..29	45..48
Гидравли-ческий расчет трубопро-водов	42,43,44	64..70	94..104	76..99	31..38	57..63
Лопастные насосы	45,46,47,48	89..108 131..134	139..158 163..173	146..161	41..59	78..83
Объемные гидрома-шины	50,51,52,53	141..169	177..204	223..235	59..76	88..91
Объемный гидропри-вод	54,55,56,57	192..200	204..224	271..279	77..84	95..98

Литература для изучения теоретической части дисциплины

1. Исаев А.П., Сергеев Б.И., Дидур В.А. Гидравлика и гидромеханизация сельскохозяйственных процессов М:Агропром издат, 1990 – 400с.

2. Н.А.Палишкин Гидравлика и сельскохозяйственное водоснабжение М: Агропром издат, 1990 - 351с.

3. Сабащвили Р.Г. Гидравлика, гидравлические машины, водоснабжение сельского хозяйства: Учеб. пособие для вузов М: Колос 1997-479с.

4. Рухленко А.П. Гидравлика и гидравлические машины. Учебное пособие ТГСХА-Тюмень 2006 г. 124с.

1. Определить объемный модуль упругости жидкости,

если под действием груза А массой 250 кг поршень прошел расстояние △h=5мм. Начальная высота положения поршня H=1.5м, диаметры поршня d=80мм и резервуара D=300мм, высота резервуара h=1,3 м. Весом поршня пренебречь. Резервуар считать абсолютно жестким.

Решение: Сжимаемость жидкости характеризуется модулем объемной упругости Е, входящим в обобщенный закон Гука: = ,

где = приращение (в данном случае уменьшение) объема жидкости V , обусловленное увеличением давления ∆р. Вышеприведенную зависимость запишем относительно искомой величины:

В правой части уравнения неизвестные величины необходимо выразить через исходные данные. Повышение давления ∆робусловленное внешней нагрузкой, а именно весом груза:

Начальный объем жидкости складывается из объемов жидкости в цилиндре и резервуаре:
= · .

Абсолютное изменение объема жидкости ∆V:

Подставив в правую часть уравнения полученные выражения для ∆р, ∆V и V получим

E = =

= = .

2. Высота цилиндрического вертикального резервуара h=10м, его диаметр D=3м. Определить массу мазута (ρ м =920кг/ ), которую можно налить в резервуар при 15 , если его температура может подняться до 40 0 С. Расширением стенок резервуара пренебречь, температурный коэффициент объемного расширения жидкости β t =0,0008 1/ 0 С.

Решение: Массу мазута можно выразить как произведение его плотности на объем, т. е.:

или ,

где h м - начальный уровень мазута в резервуаре при t=15 0 С. Из выражения для β t находим абсолютное изменение объема мазута при повышении температуры, т.е.:

С другой стороны, эту же величину можно представить как разность объемов резервуара и начального объема мазута:

Выразив эти объемы через геометрические параметры можно записать, что:

ΔV = ·

Приравняем правые части выражений для :

Сократив левую и правую части уравнения на , получим

Откуда = .

Полученное значение подставим в исходное уравнение

Здесь: △t = t k - t н = 40 – 15 = 25 0 С.

3. Определить абсолютное давление воздуха в баке , если при атмосферном давлении, соответствующем h a = =760 мм рт. ст. показание ртутного вакуумметра = 0,2 м, высота h = 1,5 м. Каково при этом показание пружинного вакуумметра? Плотность ртути ρ = 13600кг/ .

Решение: Для решения этой задачи используем основное уравнение гидростатики, позволяющее определить давление в любой точке жидкости и понятие «поверхность равного давления». Как известно, для неподвижной ньютоновской жидкости поверхности равного давления представляют совокупность горизонтальных плоскостей. В данном случае в качестве поверхностей равного давления возьмем две горизонтальные плоскости - поверхность раздела воды и воздуха в соединительной трубке и поверхность раздела воздуха и ртути в правом колене ртутного вакуумметра. Для первой поверхности давление в точках А и В одинаково и согласно основного уравнения гидростатики определяется следующим образом:

p А = p В = p 1 + ρ · g · h ,

где р 1 - абсолютное давление воздуха в баке. Из этого уравнения следует, что:

p 1 = p A - ρ · g · h.

Если не учитывать плотность воздуха, то можно записать что p А = p В = p Е, т.е. давления в точках А,В, и Е одинаковы.

Для второй поверхности давления в точках С и Д одинаковы и равны атмосферному,

р а = р С = р Д.

С другой стороны, давление в т. С можно представить как

откуда p е = p а – ρ рт ·g · h рт.

Подставив выражения для р А в уравнение для определения р 1 , получим

р 1 = p a - ρ рт · g · h рт – ρ · g · h = ρ рт · g · (h a - h рт) – ρ · g · h.

Численную величину р 1 найдем, подставив численные значения величин в правой части уравнения:

р 1 = 13600 · 9,81 · (0,76 – 0,2) – 1000 · 9,81 · 1,5=

74713 – 14715 = 59998Па = 60кПа.

Разрежение, которое будет показывать вакуумметр:

р вак = р а – р 1 = ρ рт · g · h а – р 1 =

13600 · 9,81 · 0,76 · 10 -3 - 60 = 101,4 – 60 = 41,4кПа.

4.Определить абсолютное давление в сосуде по показанию жидкостного манометра, если известно: h 1 =2м, h 2 =0,5м, h 3 =0,2м, м = = 880кг/м 3 .

Решение : Для решения этой задачи необходимо записать основное уравнение гидростатики для двух точек, распложенных на горизонтальной плоскости (поверхности равного давления), проходящей по линии раздела воды и ртути. Давление в т. А

р А = р абс + ρ · g · h 1 ;

Давление в т. В

Приравняв правые части этих выражений определим абсолютное давление

р абс + ρ · g · h 1 = р а + ρ м · g · h 3 + ρ рт · g · h 2 ,

100000+880·9,81·0,2+13600·9,81·0,5–1000·9,81·2 =

100000+1726,6+66708-19620=148815Па=148кПа.

5. Закрытый резервуар А, заполненный керосином на глубину Н=3м, снабжен вакуумметром и пьезометром. Определить абсолютное давление р 0 над свободной поверхностью в резервуаре и разность уровней ртути в вакуумметре h 1 если высота поднятия керосина в пьезометре h =1,5м.

Решение: Запишем основное уравнение гидростатики для т. А, расположенной на дне резервуара,

С другой стороны, это же давление в точке А можно выразить через показание открытого пьезометра

Полученное выражение для р А вставим в уравнение для определения р 0:

тогда численное значение р 0 будет равно:

Разность уровней ртути в вакууметре определим, записав основное уравнение гидростатики для двух точек В и С поверхности равного давления, совпадающей со свободной поверхностью ртути в правом колене вакуумметра

h 1 = = .

6. Определить избыточное давление воды в трубе В, если показание манометра =0,025МПа.

Соединительная трубка заполненная водой и

воздухом, как показано на схеме, причем Н 1 = 0,5м, Н 2 =3м. Как изменится показание манометра, если при том же давлении в трубе всю соединительную трубку заполнить водой (воздух выпустить через кран К). Высота

Решение: При решении этой задачи используется основное уравнение гидростатики, согласно которому, давление в трубе В, складывается из давления на свободной поверхности (в данном случае манометрического - р м) и весового давления воды. Воздух в расчет не принимается ввиду его малой, сравнительной с водой, плотности.

Итак давление в трубе В:

Здесь 1 взято со знаком минус, потому что этот столб воды способствует уменьшению давления в трубе.

Если из соединительной трубки полностью удалить воздух, то в этом случае основное уравнение гидростатики запишется так:

Точное значение ответов: и получается при g = 10 м/ .

7. При перекрытом кране трубопровода К определить абсолютное давление в резервуаре, зарытом на глубине Н=5м, если показание вакуумметра, установленного на высоте h=1.7м, . Атмосферное давление соответствует Плотность бензина .

Решение: Согласно основному уравнению гидростатики абсолютное давление в резервуаре будет складываться из абсолютного давления на свободной поверхности и весового, т. е.

Абсолютное давление на свободной поверхности :

или

С учетом полученного выражения для
исходное уравнение запишем следующим образом:

8. В цилиндрический бак диаметром D = 2м до уровня Н=1,5м налиты вода и бензин. Уровень воды в пьезометре ниже уровня бензина на h=300мм. Определить вес находящегося в баке

бензина, если .

Решение: Вес находящегося в баке бензина можно записать как

где - объем бензина в баке. Выразим его через геометрические параметры бака:

Чтобы определить неизвестную величину - уровень бензина в баке, нужно записать основное уравнение гидростатики для поверхности равного давления, в качестве которой наиболее целеобразно принять дно бака, так как относительно его мы располагаем информацией в виде Н- суммарного уровня бензина и воды в баке. Так как бак и пьезометр открыты (сообщаются с атмосферой), давление на дно будем учитывать только весовое.

Итак, давление на дно со стороны бака можно записать как

Это же давление со стороны пьезометра:

Приравняв правые части полученных выражений, выразим из них искомую величину :

Сократим полученное уравнение на g, убрав в обеих частях уравнения , запишем искомую величину

Из последнего уравнения

Полученные выражения для и подставим в исходное уравение и определим вес бензина

9. Гидравлический домкрат состоит из неподвижного поршня 1 и скользящего по нему цилиндра 2, на котором смонтирован корпус 3, образующий масляную ванну домкрата и плунжерный насос 4 ручного привода со всасывающими 5 и нагнетательным 6 клапанами. Определить давление рабочей жидкости в цилиндре и массу поднимаемого груза m, если усилие на рукоятке приводного рычага насоса R=150 Н, диаметр поршня домкрата D=180 мм, диаметр плунжера насоса d=18мм, КПД домкрата η = 0,68, плечи рычага а=60мм, b=600мм.