Небольшие секреты: как выиграть в лотерею "Русское лото". Как выиграть в лотерею на основании математического ожидания

⁰

В июне 2017 года житель Иркутской области выиграл в «Гослото 6 из 36» 13,5 миллионов рублей. А тремя месяцами ранее удачливому игроку посчастливилось забрать более 26 миллионов рублей.

Обладателем таких призов может стать каждый читатель этой статьи. Расскажем, что нужно сделать, чтобы сыграть в «Гослото 6 из 36» и получить шанс сорвать «джекпот».

«Гослото 6 из 36» — аналог розыгрышей «4 из 20», «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49», которые также проводятся компанией «Столото».

Первый тираж «Гослото 6 из 36» состоялся 5 сентября 2015 года. Розыгрыши «Гослото 6 из 36» можно смотреть по телевизору в прямом эфире федерального канала. В этом — преимущество «Гослото 6 из 36» перед аналогичными лотереями.

Где купить билеты?

Воспользуйтесь любым способом, чтобы купить билеты «Гослото 6 из 36»:

официальный сайт (или мобильное приложение) «Столото»
киоски «Столото» (посмотрите на карте на сайте, где они находятся)
офисы партнеров («Ростелеком», «Пятерочка», Почта России и другие)
СМС (отправьте на номер 9999 сообщение с текстом «636», и билет придет в течение минуты).

Цена билета «Гослото 6 из 36» — 100 рублей.

Какие есть билеты?

Билеты «Гослото 6 из 36» — электронные или бумажные

Электронные билеты

Такие купоны продаются на сайте «Столото». Выглядят так:

Чтобы купить электронный билет, нужен номер мобильного телефона. Если выиграете, на него придет SMS. Код из сообщения назовете в пункте выдачи призов и получите вознаграждение.

Электронные билеты продаются только на ближайший тираж. Если в ближайшее воскресенье проводится 150-ый тираж, то приобрести купон 151-го розыгрыша не удастся.

Бумажные билеты

В офисах «Столото» и партнеров лотерейной компании участникам «Гослото 6 из 36» продадут такие билеты:

Номер мобильного телефона не нужен. Победители с бумажными купонами получают призы только по билетам и паспорту (если выигрыш больше 2 тысяч рублей).

Бумажные билеты можно купить сразу на несколько тиражей вперед.

Какие правила игры?

Перед началом розыгрыша участники «Гослото 6 из 36» вычеркивают любые 6 чисел в поле из 36 ячеек. Как это можно сделать, показано ниже:

В начале розыгрыша ведущий запускает лототрон, который поочередно выбирает шесть шаров. Ведущий называет их номера аудитории.

Как только шесть бочонков выбраны, тираж завершается. Объявляются результаты – на экране публикуется, сколько человек сумели угадать 2, 3, 4, 5 или все 6 шаров.

Как увеличить шансы?

Чтобы повысить вероятность выигрыша в «Гослото 6 из 36», организаторы лотереи советуют покупать больше билетов.

Других секретов в этой лотерее нет – специальных тиражей, как в «Золотой Подкове», «Жилищной Лотерее» и «Русском Лото, в «Гослото 6 из 36» не проводится.

Когда состоится розыгрыш?

Продажи билетов «Гослото 6 из 36» закрываются в субботу в 19:30 по московскому времени.

Игроки, успевшие приобрести купон и выбрать шесть цифр до 19:30 субботы, становятся участниками ближайшего тиража. Остальные обладатели билетов ждут следующего воскресенья.

Иногда «Столото» переносит срок закрытия продаж билетов на лотереи. Следите за новостями на официальном сайте лотерейной компании и анонсами телепередач.

Какие призы разыгрываются?

В «Гослото 6 из 36» участники получают денежные призы:

за 2 угаданных шара – 100 рублей
за 3 угаданных шара – 300 рублей
за 4 угаданных шара – 2000 рублей
за 5 угаданных шаров – 20000 рублей
за 6 угаданных шаров – суперприз.

Размер суперприза для каждого тиража разный. Для 153-го тиража, который состоится 5 августа 2018 года, он равен 9 024 366 рублей. Минимальный суперприз – 3 миллиона рублей.

Как узнать результаты?

Воспользуйтесь любым способом, чтобы узнать результаты «Гослото 6 из 36»:

на по номеру тиража и билета
прямая трансляция на канале НТВ (воскресенье, 14:00, программа «У нас выигрывают»)
архив тиражей на сайте и в приложении «Столото»
служба информации «Столото» (доступна по звонку на номер +7 499 27-027-27, для абонентов Теле2, Мегафона, Билайна и МТС есть бесплатный номер +7 777 27-027-27)
газета «Аргументы и факты» (в номере, который выходит в среду, публикуются результаты «Гослото 6 из 36» за прошлую неделю).

Также можете познакомиться с , в нём отображены результаты всех тиражей.

Как забрать деньги?

Есть несколько способов получить выигрыш в лотерее «Гослото 6 из 36»:

призы до 2 тысяч рублей выдаются в точках продаж «Столото» или партнеров
призы до 100 тысяч рублей переводятся на кошелек «Столото» или выдаются в специальных точках продаж «Столото» (список – на карте на сайте)
призы до 1 миллиона рублей переводятся на счет победителя в банке (отправьте сканы паспорта и реквизиты счета на адрес «Столото»)
призы больше 1 миллиона рублей переводятся на счет победителя в банке (если счастливчик лично посетит офис «Столото» и предоставит паспорт, реквизиты счета в банке).

Какой шанс выиграть?

Вероятность выигрыша в «Гослото 6 из 36» представлена в таблице ниже.

Таким образом, вероятность получить приз в «Гослото 6 из 36» примерно равна ¼ (или 25%). Причем 80% призов – выигрыши по 100 рублей (столько же, сколько стоит билет).

Заключение

«Гослото 6 из 36» — аналог «6 из 45» и других подобных лотерей от «Столото». Разница в одном: тиражи «Гослото 6 из 36» проводятся раз в неделю и показываются в телетрансляции. Есть и колонка в газете, где приводятся результаты розыгрышей.

Мы выяснили, что вероятность выиграть приз в «Гослото 6 из 36» близка к 25%. У «Столото» есть розыгрыши, где эта цифра больше: например, в «Золотой Подкове» и специальных тиражах «Русского Лото», «Жилищной Лотереи» она доходит до 30%.

Специальных стратегий, которые помогут повысить шанс на выигрыш, в «Гослото 6 из 36» нет. Рекомендуем приобретать больше билетов и надеяться на удачу. А купить билет «Гослото 6 из 36» несложно – их продадут в любом офисе «Столото» или на официальном сайте лотерейной компании.

Какова вероятность выиграть в лотерею? В этой статье все о шансах на победу в различных лотереях мира с расчетом количества комбинаций.

Логично предположить, что любой человек, покупающий лотерейный билет, желает выиграть главный приз. В абсолютном большинстве лотерей джекпот один. В случае, если выигравших несколько, то сумма просто делится на их количество. Из общеизвестных мировых лотерей исключением является разве что испанская национальная лотерея и ее разновидности – рождественская Эль гордо и новогодняя Эль Ниньо, где главных призов несколько.

Исходя из этого, для расчета вероятности выигрыша в лотерею нужно просто посчитать количество комбинаций. Это и будет математическим обоснованием для лотереи.

Ниже для Вас мы составили таблицу, в которой указана вероятность выиграть для самых известных российских, европейских и американских лотерей.

Номер	Лотерея	Вероятность выигрыша главного приза
	Мегамиллионс- Megamillions	1 к 175 711 536
	Пауэрбол - PowerBall	1 к 175 223 510
	Евромиллионы - EuroMillions	1 к 116 531 800
	Евроджекпот - Eurojackpot	1 к 59 325 280
	Ла примитива - La Primitiva	1 к 139 838 160
	Гослото 6 из 45	1 к 8 145 060
	Гослото 5 из 36	1 к 376 992

Ниже приведены формулы и примеры расчета количества комбинаций и вероятности выигрыша некоторых русских лотерей и лотерей Европы . Нужно также помнить, что во всех современных лотереях помимо джекпота есть и другие категории выигрыша, когда из, например 7 числе угадано 6,5 и так далее.

Для расчета вероятности выигрыша нам понадобится не теория вероятностей, а скорее комбинаторика.

Итак, немного математики. Сочетанием называется выбор k элементов из n данных без учета порядка (например, при выборе всех одновременно или даже последовательно, если в результате выбора этот порядок считается несущественным).

Число сочетаний вычисляется по формуле:

Число n!, которое равно n*(n-1)*(n-2)*(n-3)..*1 называется n-факториалом или просто факториалом. Например, 5!=5*4*3*2*1=120. То есть, приведённую выше формулу мы представим так:

x номеров из n =

(n)
( x )

n * ( n - 1) * ( n - 2) * ( n - 3) … * [ n - ( x -1)]
1 * 2 * 3 * 4* .. x

К примеру, для лотереи гослото 5 из 36 общее количество комбинаций рассчитывается так:

5 из 36=

(36)
(5)

36 * 35 * 34 * 33 * 32
1 * 2 * 3 * 4 * 5

376 992.

Таким образом, шанс на выигрыш для гослото, либо любой другой лотереи, в которой нужно угадать 5 чисел из 36, составляет 1 на 376 тысяч 992.

Для лотерей по формуле 6 из 45 указанная формула будет выглядеть так:

6 из 45 =

(45)
(6)

45 * 44 * 43 * 42 * 41 * 40
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6

8 145 060.

Обратите внимание, какая огромная разница – казалось бы две схожие лотереи, но вероятность выигрыша в первом случае в 21 раз больше чем во втором.

В лотереях 7 из 49 общее количество комбинаций составит:

7 из 49 =

(49)
(7)

49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 * 43
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7

85 900 584

Как видно, формула расчета подходит для любых лотерей по формуле X из Y .

Для популярной в Европе схеме 6 из 49 вероятность выпадения джекпота в соответствии с этой формулой составляет 1 к 13 983 816.

Если мы говорим о лотереях типа Euro Millions , где присутствуют дополнительные шары, то количества комбинаций просто умножаются

Так, для упомянутой Euro Millions формула выглядит так:

“5 из 50” =

(50)
(5)

50 x 49 x 48 x 47 x 46
1 x 2 x 3 x 4 x 5

2 118 760 комбинаций.

“2 из 11” =

(11)
(2)

11 x 10
1 x 2

55 комбинаций.

Итог - 2 118 760 x 55 = 116 531 800 комбинаций Euro Millions .

Для Euro Jackpot количество комбинаций равно соответственно - 2 118 760 x28 = 59 325 280 комбинаций.

Для вычисления выпадения лотерейного выигрыша введем понятие вероятности:

Рассмотрим случай лотереи 5 из 36:

Как нам уже известно – общее количество комбинаций составляет 376 992.

Вероятное число выигрышей = C(4,5)*C(1,31).

Т.е.

5 х 4 х 3 х 2
1 х 2 х 3 х 4

31
1

Таким образом, делим общее число выигрышей 376 992 на 155 и получаем 1 выигрыш на 2 432 комбинации.

Для 3-х угаданных чисел:

5 х 4 х 3
1 х 2 х 3

x
1 х 2 x 3

44 950

Т.е. 1 выигрыш на 8 комбинаций.

Используя эти данные мы можем просчитать процент возврата лотереи. Допустим, мы играем в гослото по формуле 5 из 36 и отметили 2432. При нынешней стоимости билета в 40 рублей мы потратим 97280 рублей. В среднем, согласно приведенным выше расчетам, у нас выпадет одна четверка, 30 троек и 300 двоек. Умножив на ставки выигрышей (4000, 400 и 40 рубей соответственно) мы получим 28 000 рублей. Делим 97280 на 28 000 и получаем, что возврат составляет порядка 34,7%.

В соответствии в данными с официального сайта гослото, результаты тиража № 1336 от 30 июля выглядят так (актуальную информацию о результатах тиражей всех наиболее популярных российских и мировых лотерей можно узнать в разделе тиражи лотерей):

180 777 ставок на сумму 7 231 080 рублей. По итогам тиража сумма выигрышей составила 2 110 040 рублей. Т.е. все те же 34%. Около 2,3 миллионов рублей перешло в джек-пот. Прибыль гослото за тираж только с игры 5 из 36 составила приблизительно 2,8 миллионов рублей. Т.е. гослото, а точнее коммерческая фирма (подробнее о юридической структуре гослото ), стоящая за этим брендом, 30% выручки оставляет себе.

Теперь посмотрим на вероятность выигрыша в лотереи типа русского лото , т.е. такие, в которых имеется 90 бочонков, а в билете зачеркивается 30 номеров.

По правилам лотереи, джекпот выигрывает билет, если на 15 ходу все 15 чисел окажутся в билете. Получается лотерея 15 из 90. По приведенной выше формуле количество таких комбинаций без учета порядка – 45795673964460800.

Как видно, это число значительно больше количества комбинаций для классических лотерей типа 5 из 36, 6 из 45, а так же лотерей с дополнительными шарами – типа евромиллионов и американских лотерей – Megamillionsи Powerball.

Особняком стоят испанские лотереи типа ElGordo, LotereaNacional, в которых на каждом билете написано число от 00000 до 99999. То есть, для этих лотерей вероятность выигрыша составляет 1 к 100 000.

Исходя из вышеприведённой информации, воспользовавшись приведенными выше формулами, можно легко ответ на вопрос какой шанс выиграть в лотерею.

А если учитывать, что в подобных лотереях правила выигрыша для других классов выигрышах еще иногда зависят от номеров строк, порядка выпадения бочонков и т.д., то очевидно, что по вероятности выигрыша такие лотереи заметно уступают классическим схемам.

В заключении, хотим привести любопытный парадокс лотереи:

Достаточно ожидаемо, что на данный конкретный билет не выпадет джекпот, но не следует при этом думать, что ни на один из билетов он не выпадет.

Каждый хотя бы раз играл в лотерею. Но вот выигрывают очень немногие. Большинство людей считает, что выигрыш в лотерею — это что-то нереальное. Их мнение весьма предвзятое, так как в большинстве случаев опыт был печальным.

Почему одним везет, а другим нет?

Есть люди, которые ставят на одни и те же наборы чисел и не выигрывают в течение нескольких лет! Между тем, есть исключения — счастливчики, которые выигрывают джекпот¹ почти сразу. Хотя таких на земле очень мало.

Однако, несмотря на статистику, есть способы, позволяющие значительно увеличить шансы на выигрыш в лотерею.

О них и пойдет речь в этой статье. Для начала нужно понять и принять тот факт, что удача в игре находится где-то между хорошей стратегией, интуицией, терпением, настойчивостью и позитивным настроем.

Слагаемых много, но при правильном подходе вы узнаете, как перестать беспокоиться о своем выигрыше в лотерею, потому что будете действовать наверняка. Настроиться на энергию денег и изобилия и привлечь богатство в свою жизнь вам поможет мощный курс .

«Ценные» стратегии выигрыша в лотерею

Прежде чем покупать лотерейные билеты, запомните это правило:

Никогда не покупайте больше лотерейных билетов, чем минимальный выигрыш в данной лотерее!

Так, если минимальная сумма, которую можно выиграть в розыгрыше, составляет 100 рублей, то потратить вы можете не более 100 рублей за одну игру. Покупка большего количества билетов не увеличит шанс на выигрыш в лотерею.

На самом деле, перерасход средств на игру дает совсем противоположный эффект. Стресс, тревога и переживания ведут только к расходу вашей энергии и ставят сильный барьер для вашей интуиции.

Как говорят мудрецы: «только в спокойной воде можно увидеть отражение звездного неба».

Если ваши чувства и эмоции будут спокойны, то вы сможете увидеть подсказки своей интуиции. Поступайте с самого начала правильно, с умом распределяя свои финансовые вложения. Так вы увеличиваете свой шанс на удачу, потому что хорошее настроение и спокойствие — фундамент вашего успеха.

Существует два метода, которыми пользуются игроки в лотерею. В чем их особенности?

Метод первый. Стихийная удача

Вы берете каждый раз случайно выбранные номера и постоянно их меняете, пробуя все новые числа и надеясь только на стихийную удачу. Одно из преимуществ случайно выбранных цифр в том, что они каждую игру различны, но ваш успех полностью зависит от случайности судьбы.

Используя этот метод, вы бессильны что-либо сделать. Это весьма спорная методика выигрыша в лотерею, основанная на случайном выборе.

Метод второй. Упорная последовательность

Вы подбираете статический (неизменный) набор чисел, которые могут быть выбраны из дат, возрастов, адресов и т.д. В любом случае вы всегда полностью полагаетесь на удачу только этих чисел, зацикливаясь на них.

Но это психологическая ловушка статических номеров. Некоторых людей манит странное суеверие, связанное с цифрами. У кого-то есть любимые числа, у кого-то значимые, чем-то отмеченные в судьбе. Поэтому люди стараются брать только их. Они считают, что именно эти номера должны выиграть, а не какие-то другие.

Часто такие игроки из года в год ставят на одни и те же числа. Они попадают в ловушку своего ума и страха, думая, что как только они перестанут ставить эти числа, то на них сразу же выпадет выигрыш.

Есть, конечно, исключения — люди, которым пришли числа во сне, или у них сильная интуиция. , на самом деле, очень важная часть стратегии для игры в лотерею. Она — как маяк, который освещает цифры и ведет ваш корабль к выигрышу.

Как правильно играть в лотерею?

Вы можете выбрать одну из трех методик, приведенных ниже. Все они основываются на определенном выборе цифр и составлении плана игры. На основе этих методов вы сможете разработать свою собственную стратегию, которая будет работать на вас.

Изучая закономерность чисел, понимаешь, что случайности в чистом виде на самом деле не существует. Речь идет о балансе и равновесии во Вселенной. Чтобы быть удачливым в лотерее, нужно понаблюдать, как ведут себя те или иные цифры. Затем необходимо сделать выводы и найти нужные цифры для вашего выигрыша.

Конечно, в любой стратегии бывают и исключения, однако, наблюдая за статистикой, вы сможете увидеть закономерности и использовать их для получения денег. Для начала выигрыши могут быть небольшие, но оттачивая свое мастерство, вы сможете выигрывать чаще и больше.

Суть стратегий основана на изучении истории игры. Это значит, что если событие произошло хотя бы раз, то оно обязательно повториться, и вы сможете предвидеть и рассчитать, когда это произойдет.

Что гарантируют эти стратегии?

Сделать игру более приятной и предсказуемой.
Помочь понять, как числа ведут себя во времени.
Вдохновить вас развивать и совершенствовать свою собственную стратегию для выбора номеров.

Да, на начальном этапе это потребует от вас терпения. Еще вам понадобится история игры, по меньшей мере, за несколько последних десятков розыгрышей. Неважно, какая это лотерея, можно даже играть в лотереи онлайн. Вы сможете загрузить историю выигрышных номеров прямо на сайте лотереи. История игр вам необходима для разработки вашей личной успешной стратегии.

Стратегия №1. Комбинации наиболее часто выигрывающих чисел

Выборка номеров часто выигрывающих чисел даст вам возможность выигрывать время от времени. Она даже может привести вас к джекпоту. Для этого вы выписываете выигрышные номера, если некоторые выпадают несколько раз — ставьте напротив эту цифру.

Список с наиболее часто выигрывающими числами нужно время от времени обновлять, так как через какой-то временной отрезок числа имеют свойство замещаться другими числами.

Глядя на такой список, вы наглядно сможете увидеть периодичность «хороших» номеров и использовать их в своей игре. Не забывайте при этом отмечать историю проб.

В дополнение к этому методу используйте свою интуицию — «Зеленый цвет». Глядя на весь список номеров, попросите, чтобы выигрышный в этой лотерее номер окрасился в зеленый цвет. Вы интуитивно сможете увидеть этот цвет на некоторых номерах — выпишите их отдельно. Так вы увеличите свои шансы на выигрыш в лотерею.

Стратегия №2. Исключите числа, которые вне игры

Эта стратегия также не займет много времени. Она проста в подсчетах — вам нужно будет провести статистику участия чисел в игре. Для этого необходимо:

1. Выписать все числа, которые участвовали в лотерее за определенное время.

2. Рядом с каждой из цифр поставить числа — сколько раз эта цифра была вне игры, а сколько в игре.

3. Внести в таблицу среднее значение. Например, если номер «2» выпал в играх 3 раза, а не выпадал 1 раз, то в итоге в таблицу нужно занести цифру 2. Если ничья – ноль.

5. После каждого розыгрыша таблицу с данными необходимо обновлять, чтобы иметь актуальную информацию по участию чисел в игре.

Так можно отслеживать, какие числа играют, сколько раз они выпадают, какие из них выигрывают. После такого анализа попробуйте составить свой числовой выигрышный ряд. Используйте методику «Зеленый цвет», описанную выше.

Стратегия №3. Выберите числа в промежутке между выпадающими

Вы, наверное, замечали, что, например, в одной игре выпали числа 8 и 10, а в следующей число 9. Всякий раз, когда вы подмечаете рядом стоящие цифры, участвующие в промежуточной игре, вы наблюдаете их закономерность.

Так вы сможете прогнозировать, какое число выпадет в следующей игре, если, к примеру, увидите в этой игре 8 и 10. Основываясь на этих трех стратегиях, вы сможете создать собственный метод, и обязательно получить свой выигрыш в лотерею!

Примечания и тематические статьи для более глубокого понимания материала

¹ Джекпот - призовой фонд в некоторых слотах, лотереях и прочих азартных играх (Википедия). Как выиграть

Гослото - системно или наудачу? Какое решение имеет больше преимуществ? Мы расскажем, как играть в лото, чтобы выиграть. И чего не надо делать, чтобы не потерять состояние.

Ответ прост - как «системная» игра, так и заполнение купонов лото наудачу, дает точно такой же шанс на победу …

Приверженцы систем игры в лото, анализирующие результаты тысяч розыгрышей, могли бы, конечно, быть правы, но только при условии, что механизм розыгрыша будет нечестен или недоработан - например, шарики в машине рандомизации будет иметь различный вес, что изменяет частоту набора номера. В противном случае сложные сравнения дат и чисел имеют более или менее столько же смысла, сколько и гадание на сырой печени.

Системы игры дискредитируют вероятность. Количество комбинаций из шести цифр в лотерее « » дает около 14 миллионов комбинаций (8 145 060), и заполнить десяток или десятки купонов не увеличивает столь значительно шансы на получение выигрыша первой степени. Если мы решим посвятить несколько месяцев, то можем действительно отметить все комбинации, но в дополнение ко времени, нам нужно вдобавок немного больше, чем 200 миллионов рублей, чтобы оплатить билеты. Ну и пригодится хороший архивист, чтобы вовремя найти правильный билет и получить выигрыш… При возмещении выигрыша в целое дело мы много не внесем, а только несколько миллионов или несколько десятков миллионов.

Вероятность выигрыша в «6 из 49»

Шанс выиграть в лотерею «Гослото «5 из 36»

Вероятность выигрыша в лотерею «Гослото «7 из 49»

Как работает система игры в лото

Попытка отбросить неправильные наборы чисел – это, собственно, и есть система игры в Гослото. Если мы не можем придумать свою собственную, можно легко купить готовую систему в Интернете или через объявления в газете. Существует только маленький вопрос – действительно ли кто-нибудь, кто владеет инструментом для легкого получения призов в Гослото, продает свое открытие случайным людям за несколько сотен рублей?

Все наборы чисел имеют одинаковые шансы быть разыгранными; серия шести последовательных номеров не менее вероятная, чем любая другая ставка, хотя мы рефлекторно считаем это удивительным.

Нужно помнить, что организатор лотереи не является благотворительной организацией, и на выигрыш выделяет около половины выручки от продажи ставок; таким образом, единственным реальным выигравшим, который каждую неделю получает половину банка, является само лото. Остальным игрокам остается полагаться на удачу…

Кокорин Артем, ученик МАОУ СОШ №11

В работе исследованы выигрышные ситуации лотерей:

· Лотерея «5 из 36».

· Лотерея «5 из 40».

· Лотерея «6 из 49 ».

Работа получила диплом на краевой конференции исследовательских работ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №11»

Вероятность выигрыша в числовых лотереях

Кокорин Артем,

учащийся 10 класса
МОУ СОШ №11 г.Чайковский

Батуева Любовь Николаевна,

учитель математики высшее категории

МОУ СОШ №11 г.Чайковский

г. Чайковский

Введение.
Цели и задачи.
История возникновения лотерей.
Объект исследования.
Лотерея «5 из 36».
Лотерея «5 из 40».
Лотерея «6 из 49».
Аналитическая часть.
Область применения полученных результатов.
Вывод и рекомендации.

Введение.

Лотерея (от итал. lotteria ) - организованная игра на удачу, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера

Актуальность проблемы.

Моя тема актуальна, так как математика соприкасается с обыденной жизнью гораздо теснее, чем этому учат традиционно в школе. У. Уивер пишет: «Теория вероятностей и статистика – две важные области, неразрывно связанные с нашей повседневной деятельностью. Мир промышленности, страховые компании в большей степени являются должниками вероятностных законов. Сама физика имеет существенно вероятностную природу; такова же в основе своей и биология. Между тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятностей и статистики всё ещё не стал общепринятым. Лотереи, азартные игры, выборные компании, страховые компании и т. п. Как предсказать результат?.. Какую позицию выбрать?.. Для ответа на эти вопросы я и решил заняться этим исследованием.

Гипотеза : большинство считают, что предугадать результата чиловой лотереи, в которой властвует случай, невозможно. Это не так. Математическое ожидание выигрыша - величина, которая поможет нам определить, справедлива ли та или иная игра, и выгодно ли нам в неё играть.Объектом моего исследования являются различные азартные игры, на основе которых вводятся основные понятия теории вероятностей.

Предмет исследования: числовые лотереи

«6» из «49»
«5» из «36»
«5» из «40»
«6» из «45»

Начиная исследование, я ставил для себя основную цель – провести вероятностный анализ числовых лотерей,что используя формулы теории вероятности,которые помогут нам определить, справедлива ли та или иная лотерея, и выгодно ли нам в неё играть. Из этой цели вытекают 4 главные задачи, к выполнению которых я стремился по ходу исследования:

Изучить правила проведения числовых лотерей и рассмотреть методы их исследования, с помощью формул теории вероятности.
Провести эксперимент
Проанализировать полученные данные

4.Создать мини-пособие, содержащее полезную информацию о числовых лотереях

Для выполнения поставленных задач я пользовался такими методами исследования, как сравнение, индукция, дедукция, аналогия, эксперимент и опрос.

История возникновения.

Многие поклонники спортивно-числовых лотерей, в том числе и "Спортлото" возможно не знают, что ее прототипом была лотерея, с числовой формулой "5 из 90", организованная в 1530 году в итальянском городе Генуе. Дело в том, что в Генуэзской республике выборы в главный орган самоуправления - Великий Совет - проводились по жеребьевке. После многоступенчатого отбора к последнему туру голосования допускались 90 кандидатов, из которых надлежало выбрать всего пять человек. Выборы происходили так: каждому кандидату в члены Совета присваивался порядковый номер с первого, по девяностый. Затем в специальную урну закладывали 90 пронумерованных шаров. После тщательного перемешивания из нее доставали только 5 шаров. Случай делал свой выбор. Номера на вынутых шарах называли членов Великого Совета Генуи!
Такой лотерейный принцип выбора получил в Италии всеобщее признание и, перешагнув государственные границы, стал распространяться по другим странам Европы.
В настоящее время в разных странах имеется несколько разновидностей числовых лотерей. Я не ставил своей целью рассказать здесь о каждой из них .

Математическое обоснование числовых лотерей

Каждая числовая лотерея с любой числовой формулой имеет свое математическое обоснование. Оно необходимо для того, чтобы знать, сколько классов выигрышей должно быть в лотерее, и какова вероятность выигрыша каждого класса.
Математическое обоснование числовой лотереи рассчитывается с применением теории вероятностей и теории чисел . Интуитивно вероятность некоторого события воспринимается как характеристика возможности его появления. Оказывается, что при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу.. Рассчитав вероятное число выигрышей каждого класса, можно узнать, какой процент от общей суммы доходов должен пойти на выигрыши каждого класса и какова должна быть сумма каждого выигрыша.
Общее количество комбинаций в числовой лотерее рассчитывается при помощи формулы:

Лотерея 6 из 49

. Чтобы получить большой выигрыш, надо было угадать 6 чисел из 49. Выигрывали карточки и с совпадением 5 и даже 4 номеров. А сколько карточек нужно было бы купить и заполнить, чтобы на них оказались все комбинации по 6 номеров из 49 возможных, т. е. чтобы выиграть наверняка? Количество карточек равно числу сочетаний из 49 элементов по 6, т.е.

49! = 44∙45∙46∙47∙48∙49 = 13 983 816

6!∙43! 1∙2∙3∙4∙5∙6

Для реализации подобной идеи нужно было быть миллионером! Да и разбогатеть в этом случае было бы трудно, поскольку выигрыш был не фиксирован, и в каждом тираже на призовой фонд отводилась лишь часть собранной от продажи билетов суммы. Но ведь кто-то же выигрывал! Я провел несколько экспериментов в своем классе. Я попросил зачеркнуть в карточке 6 номеров из 49.

По результатам экспериментов я составил таблицы и диаграммы .Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие. Относительная частота (которую иногда называют просто частотой) показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события.

1 эксперимент

Ни одного выигрыша! Три числа угадали только 2 раза! Но эта лотерея не предусматривает выигрыша, если угадано 3 числа.

Тогда я решил найти вероятность выигрыша, используя классическое определение вероятности. Вероятностью случайного события А называется дробь , то есть где п – число всех возможных исходов эксперимента, m – число исходов, благоприятных для события А.

Обозначила через Р 6, Р 5, Р 4, Р 3, Р 2, Р 1, Р 0 вероятность того, что 6 , 5 , 4, 3, 2, 1 или 0 отмеченных игроком чисел оказались выигрышными..Число всех исходов эксперимента равно = 13 983 816, - количество выборов 6 чисел, не совпадающих с данными 6 числами. Согласно теории вероятности, вероятность угадать n (от 0 до 5) номеров из 36 можно выразить формулой: Согласно теории вероятности, вероятность угадать n из m можно выразить формулой:

43! = 38∙39∙40∙41∙42∙43 = 6 096 454

6!∙37! 1∙2∙3∙4∙5∙6

Р 0 ≈ 0,435965

· - количество выборов 1 числа из 6 данных чисел и 5 чисел не совпадающих с данными 6 числами

· =

Р 1 ≈ 0,413019

· - количество выборов 2 чисел из 6 данных чисел и 4 чисел не совпадающих с данными 6 числами

· =

Р 2 ≈ 0,132378

· - количество выборов 3 чисел из 6 данных чисел и 3 чисел не совпадающих с данными 6 числами

· =

Р 3 ≈ 0,0176504

· - количество выборов 4 чисел из 6 данных чисел и 2 чисел не совпадающих с данными 6 числами

· =

С 6 · С 43 = 6! · 43! = 5 · 6 · 42 · 43 = 13545

4! · 2! · 2! · 41! 2 · 2

Р 4 ≈ 0,000969

· - количество выборов 5 чисел из 6 данных чисел и 1 числа не совпадающего с данными 6 числами

С 6 · С 43 = 6! · 43! = 6 · 43 = 258

5! · 42!

Р 5 ≈ 0, 000184

Отсюда следует, что вероятность проигрыша равна

Р 3 + Р 2 + Р 1 + Р 0 ≈ 0,999012

Вероятность самого крупного выигрыша равна Р 6 ≈ 0,0000000715 = 0, 7115 · 10 -7

Вероятность самого маленького выигрыша Р 4 =0,000969

Номер эксперимента	Относительная частота исхода 0
	0,54
	0,75

	0,47
	0,72
	0,54

Среднее значение относительной частоты того, что игрок не угадает ни одного числа 0,514757143

А по вычислениям вероятность того, что игрок не угадает ни одного числа 0, 413019.

Разница не очень большая 0, 101738 и может быть связана и с количеством экспериментов и с количеством участников в каждом эксперименте.

Номер эксперимента
	0,31
	0,14
	0,35
	0,52
	0,18

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 1число равно 0,366342857 .А по вычислениям вероятность того, что игрок угадает 1 число равно 0,413019.Разница между вычислениями и данными полученными, с помощью эксперимента равна 0,0466761 .

Номер эксперимента
	0,13



	0,045
	0,045

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 2 числа равно 0,114021 . А по вычислениям вероятность равна 0,132378.Разница между вычислениями и данными полученными, с помощью эксперимента равна 0,018357 .

Номер эксперимента


	0,045

	0,045

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 3 числа равно 0,01 . А по вычислениям вероятность равна 0,0176504. азница между вычислениями и данными полученными, с помощью эксперимента равна 0,007654 . Получается, что данные экспериментов не на много отличаются от данных, полученных с помощью вычислений.

(6)
(6)

(43)
(0)

6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1
1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6

1 выигрыш

(6)
(5)

(43)
(1)

6 х 5 х 4 х 3 х 2
1 х 2 х 3 х 4 х 5

43
1

258 выигрышей

(6)
(4)

(43)
(2)

6 х 5 х 4 х 3
1 х 2 х 3 х 4

43 х 42
1 х 2

13.545 выигрышей

Всего в лотерее "6 из 49", таким образом, содержится 13.804 выигрыша, т. е. 1 выигрыш приходится на 1.013 комбинаций.

13.983.816
13.545

1 на 1.032 комбинации

Лотерея 5 из 36

Для выигрыша надо угадать 5 номеров из 35 . Я провел эксперименты и с этой лотереей. Каждый учащийся, принимавший участие в эксперименте получал карточку.

5 из 35

Вычислим вероятность того, что игрок не угадает ни одного числа.

5!∙30! 1∙2∙3∙4∙5

5!∙25! 2∙3∙4∙5

Р 0 ≈ 0,438977.

Номер эксперимента	Относительная частота исхода 1
	0,34


	0,34
	0,375
	0,38

4! · 4! · 26! 2 · 3 · 4

Р 1 ≈ 0,422093

Номер эксперимента	Относительная частота исхода 2
	0,13
	0,17
	0,13
	0,17
	0,125
	0,09

Р 2 ≈ 0,284900

Номер эксперимента	Относительная частота исхода 3

	0,04



	0,04

3! · 2! · 2! · 28! 2 · 2

Р 3 ≈ 0,030525

Р 5 ≈ 0,00000308041

Это в 5729,9 раза меньше, чем вероятность получения самого маленького выигрыша в лотереи СПОРТЛОТО, и в 43,1 раза больше, чем вероятность самого большого выигрыша в этой же лотерее. Но ни одного выигрыша в экспериментах не получилось.

Вероятное число выигрышей каждого класса определяется с учетом коэффициента вероятности каждого выигрыша следующим образом:

(5)
(5)

(31)
(0)

5 х 4 х 3 х 2 х 1
1 х 2 х 3 х 4 х 5

1 выигрыш

(5)
(4)

(31)
(1)

5 х 4 х 3 х 2
1 х 2 х 3 х 4

31
1

155 выигрышей

(5)
(3)

(31)
(2)

5 х 4 х 3
1 х 2 х 3

31 х 30
1 х 2

4.650 выигрышей

Всего в лотерее "5 из 36", таким образом, содержится 4.806 выигрышей, т. е. 1 выигрыш приходится на 78 комбинаций.
Вероятность появления выигрыша каждого класса определяется отношением вероятного числа выигрышей к общему числу случаев выигрышей, равному общему количеству комбинаций в лотерее:

376 992
4.650

1 на 81 комбинацию

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		12/23
		8/23
		3/23

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		10/23
		7/23
		4/23
		1/23

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		11/22
		9/22
		3/22

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		10/23
		8/23
		4/23

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		11/24
		9/24
		3/24

		1/24

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		10/24
		8/21
		2/21
		1/21

Лотерея 5 из 40

5 из 40

Среднее значение относительной частоты того, что игрок не угадает ни одного числа равно 0,4865875.

С 35 = 35! = 31∙32∙33∙34∙35 = 324 632

5!∙30! 1∙2∙3∙4∙5

С 30 = 30! = 26∙27∙28∙29∙30 = 142 506

5!∙25! 2∙3∙4∙5

Р 0 ≈ 0,438977.

Разница значения полученного с помощью экспериментов и вычислений получилась 0,0476105.

Номер эксперимента	Относительная частота исхода 1
	0,52
	0,47
	0,38
	0,23
	0,38
	0,23

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 1 число равно 0,3865875.Вычислим вероятность того, что игрок угадает 1 число.

С 5 · С 30 = 5! · 30! = 5 · 27 · 28 · 29 · 30 = 137025

4! · 4! · 26! 2 · 3 · 4

Р 1 ≈ 0,422093

Разница значений полученных с помощью экспериментов и вычислений получилась 0,0355055.

Номер эксперимента	Относительная частота исхода 2
	0,04
	0,14
	0,23
	0,14
	0,09

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 2 числа равно 0,151475.

Вычислим вероятность того, что игрок угадает 2 числа. 2 3

С 5 · С 30 = 5! · 30! = 4 ·5 · 28 · 29 · 30 = 40600

2! · 3! · 3! · 27! 2 · 2 · 3

Р 2 ≈ 0,284900

Разница значений полученных с помощью экспериментов и вычислений получилась равной 0,133425 .

Номер эксперимента	Относительная частота исхода 3



	0,04
	0,04
	0,04

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 3 числа равно 0,0225.

Вычислим вероятность того, что игрок угадает 3 одного числа.

С 5 · С 30 = 5! · 30! = 4 · 5 · 29 · 30 = 4350

3! · 2! · 2! · 28! 2 · 2

Р 3 ≈ 0,030525

Разница значения полученного с помощью экспериментов и вычислений получилась равной 0,008025.Вероятность выигрыша в этой лотерее равна

Р 5 ≈ 0,00000308041

Вероятное число выигрышей каждого класса определяется с учетом коэффициента вероятности каждого выигрыша следующим образом:
Выигрыши 1 класса (за 5 угаданных номеров):

(5)
(5)

(35)
(0)

5 х 4 х 3 х 2 х 1
1 х 2 х 3 х 4 х 5

1 выигрыш

Выигрыши 2 класса (за 4 угаданных номера):

(5)
(4)

(35)
(1)

5 х 4 х 3 х 2
1 х 2 х 3 х 4

35
1

175 выигрышей

Выигрыши 3 класса (за 3 угаданных номера):

(5)
(3)

(35)
(2)

5 х 4 х 3
1 х 2 х 3

35 х 34
1 х 2

5.950 выигрышей

Всего в лотерее "5 из 40", таким образом, содержится 6.126 выигрышей, т.е. 1 выигрыш приходится на 107 комбинаций.
Вероятность появления выигрыша каждого класса определяется отношением вероятного числа выигрышей к общему числу случаев выигрышей, равному общему количеству комбинаций в лотерее:
Выигрыш 1 класса (за 5 угаданных номеров):

Выигрыш 3 класса (за 3 угаданных номера):

658.008
5.950

1 на 110 комбинаций

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		9/21
		11/21
		1/21

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		8/21
		10/21
		3/21




исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		8/21
		8/21
		5/21




исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		12/21
		5/21
		3/21
		1/21

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		10/21
		8/21
		2/21
		1/21




исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		15/21
		5/21

		1/21



исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		12/22
		7/22
		3/22




исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		15/20
		3/20
		2/20



		0
исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
0	14	14/22
1	7	7/22
2	0	0
3	1	1/22
4	0	0
5	0	0
6	0	0
исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
0	11	11/23
1	12	12/23
2	0	0
3	0	0
4	0	0
5	0	0
6	0	0

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
0	16	16/22
1	4	4/22
2	1	1/22
3	1	1/22
4	0	0
5	0	0
6	0	0

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
0	12	12/22
1	9	9/22
2	1	1/22
3	0	0
4	0	0
5	0	0
6	0	0

Лотерея 6 из 45

Для выигрыша надо угадать 5 номеров из 40. Я провел эксперименты и с этой лотереей. Каждый учащийся, принимавший участие в эксперименте получал карточку.

6 из 45
1	6	11	16	21	26	31	36	41
2	7	12	17	22	27	32	37	42
3	8	13	18	23	28	33	38	43
4	9	14	19	24	29	34	39	44
5	10	15	20	25	30	35	40	45

Среднее значение относительной частоты того, что игрок не угадает ни одного числа равно 0,4865875.

Вычислим вероятность того, что игрок не угадает ни одного числа. 5

С 35 = 35! = 31∙32∙33∙34∙35 = 324 632

5!∙30! 1∙2∙3∙4∙5

С 30 = 30! = 26∙27∙28∙29∙30 = 142 506

5!∙25! 2∙3∙4∙5

Р 0 ≈ 0,438977.

Разница значения полученного с помощью экспериментов и вычислений получилась 0,0476105.

Номер эксперимента	Относительная частота исхода 1
1	0,42
2	0,33
3	0,38
4	0,28
5	0,42
6	0,47

1 4

С 5 · С 30 = 5! · 30! = 5 · 27 · 28 · 29 · 30 = 137025

4! · 4! · 26! 2 · 3 · 4

Р 1 ≈ 0,422093

Разница значений полученных с помощью экспериментов и вычислений получилась 0,0355055.

Номер эксперимента	Относительная частота исхода 2
1	0,14
2	0,23
3	0,14
4	0,33
5	0,19
6	0,14

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 2 числа равно 0,151475.

Вычислим вероятность того, что игрок угадает 2 числа. 2 3

С 5 · С 30 = 5! · 30! = 4 ·5 · 28 · 29 · 30 = 40600

2! · 3! · 3! · 27! 2 · 2 · 3

Р 2 ≈ 0,284900

Разница значений полученных с помощью экспериментов и вычислений получилась равной 0,133425 .

Номер эксперимента	Относительная частота исхода 3
1	0,04
2	0,04
3	0,04
4	0,04
5	0
6	0

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 3 числа равно 0,0225.

Вычислим вероятность того, что игрок угадает 3 одного числа.

3 2

С 5 · С 30 = 5! · 30! = 4 · 5 · 29 · 30 = 4350

3! · 2! · 2! · 28! 2 · 2

Р 3 ≈ 0,030525

Р 5 ≈ 0,00000308041

. Ни одного выигрыша в экспериментах не получилось

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		8/21
		9/21
		3/21
		1/21

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		8/21
		7/21
		5/21
		1/21

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		9/21
		8/21
		3/21
		1/21

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		7/21
		6/21
		7/21
		1/21

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		8/21
		9/21
		4/21

исходы	Абсолютная частота	Относительная частота
		8/21
		10/21
		3/21

Вероятное число выигрышей каждого класса определяется с учетом коэффициента вероятности каждого выигрыша следующим образом:
Выигрыши 1 класса (за 6 угаданных номеров):

(6)
(6)

(39)
(0)

6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1
1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6

1 выигрыш

Выигрыши 2 класса (за 5 угаданных номеров):

(6)
(5)

(39)
(1)

6 х 5 х 4 х 3 х 2
1 х 2 х 3 х 4 х 5

39
1

234 выигрыша

Выигрыши 3 класса (за 4 угаданных номера):

(6)
(4)

(39)
(2)

6 х 5 х 4 х 3
1 х 2 х 3 х 4

39 х 38
1 х 2

11.115 выигрышей

Всего в лотерее "6 из 45", таким образом, содержится 11.350 выигрышей, т. е. 1 выигрыш приходится на 718 комбинаций.
Вероятность появления выигрыша каждого класса определяется отношением вероятного числа выигрышей к общему числу случаев выигрышей, равному общему количеству комбинаций в лотерее:
Выигрыш 1 класса (за 6 угаданных номеров):

Выигрыш 3 класса (за 4 угаданных номера):

8.145.060
11.115

1 на 733 комбинации

Вывод:

Все поставленные задачи были выполнены, гипотеза о том, что с помощью вероятность выигрыша в числовых лотереях была доказана. Мне хотелось бы, чтоб моя работа помогла людям не совершать ошибки, которые они допускают, играя в различные лотереи, и я надеюсь, что моим трудом воспользуются многие люди. В обоснование своей гипотезы о том, что многие считают, что результаты лотерей, в которых властвует случай, предугадать невозможно, я привожу результаты моего опроса среди девятиклассников на тему «Можно ли предугадать результат игры, в которой властвует случай?».

Вот его результаты, представленные в виде диаграммы:

Как Вы видите, это подтверждает мою гипотезу о неверном представлении учащихся о возможностях теории вероятности.

Литература.

Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. Москва, Акванта + , 2001
Я познаю мир. Математика. Москва, Аст, 1998
М.Ф. Рушайло Элементы теории вероятностей и математической статистики. Москва, 2004
Е.А. Бунимович, В.А. Булычев Вероятность и статистика 5 – 9 классы. Дрофа, Москва, 2002

Примеры лотерейных билетов.

Подписи к слайдам:

Вероятность выигрыша в числовых лотереях Работу выполнил: ученик 10 «А» класса МОУ СОШ №11 Кокорин Артём

Лотерея. Лотерея (от итал. lotteria) - организованная игра на удачу, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера

Актуальность проблемы. Гипотеза. Моя тема актуальна, так как математика соприкасается с обыденной жизнью гораздо теснее, чем этому учат традиционно в школе. Большинство считает, что предугадать результата числовой лотереи, в которой властвует случай, невозможно. Это не так. Вероятность выигрыша - величина, которая поможет нам определить, справедлива ли та или иная игра, и выгодно ли нам в неё играть

Цели. Изучить правила проведения числовых лотерей и рассмотреть методы их исследования, с помощью формул теории вероятности. Провести эксперимент Проанализировать полученные данные Создать мини-пособие, содержащее полезную информацию о числовых лотереях

История создания лотерей. Многие поклонники спортивно-числовых лотерей, в том числе и «Спортлото» возможно не знают, что ее прототипом была лотерея, с числовой формулой «5 из 90», организованная в 1530 году в итальянском городе Генуе. Дело в том, что в Генуэзской республике выборы в главный орган самоуправления - Великий Совет - проводились по жеребьевке. После многоступенчатого отбора к последнему туру голосования допускались 90 кандидатов, из которых надлежало выбрать всего пять человек. Выборы происходили так: каждому кандидату в члены Совета присваивался порядковый номер с первого, по девяностый. Затем в специальную урну закладывали 90 пронумерованных шаров. После тщательного перемешивания из нее доставали только 5 шаров. Случай делал свой выбор. Номера на вынутых шарах называли членов Великого Совета Генуи! Такой лотерейный принцип выбора получил в Италии всеобщее признание и, перешагнув государственные границы, стал распространяться по другим странам Европы. В настоящее время в разных странах имеется несколько разновидностей числовых лотерей.

Предмет исследования. Ч исловые лотереи: «6 из 49» « 5 из 36» «5 из 40»

Ч исловая лотерея «6 из 49» Правила: Чтобы получить большой выигрыш, надо было угадать 6 чисел из 49. Выигрывали карточки и с совпадением 5 и даже 4 номеров

Список литературы: Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. Москва, Акванта + , 2001 Я познаю мир. Математика. Москва, Аст, 1998 М.Ф. Рушайло Элементы теории вероятностей и математической статистики. Москва, 2004 Е.А. Бунимович, В.А. Булычев Вероятность и статистика 5 – 9 классы. Дрофа, Москва, 2002