Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания

Свободные колебания в контуре.

Рассмотренные в предыдущих разделах цепи переменного тока наводят на мысль, что пара элементов − конденсатор и катушка индуктивности образуют своеобразную колебательную систему. Сейчас мы покажем, что это действительно так, в цепи состоящей только из этих элементов (рис. 669) возможны даже свободные колебания, то есть без внешнего источника ЭДС.

рис. 669
 Поэтому цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром .
 Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подключили к нему катушку индуктивности. Такую процедуру легко осуществить с помощью цепи, схема которой показана на рис. 670: сначала ключ замыкают в положении 1 , при этом конденсатор заряжается до напряжения, равного ЭДС источника, после чего ключ перебрасывают в положения 2 , после чего начинается разрядка конденсатора через катушку.

рис. 670
 Для определения зависимости заряда конденсатора от времени q(t) применим закон Ома, согласно которому напряжение на конденсаторе U C = q/C равно ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке

здесь, «штрих» означает производную по времени.
 Таким образом, оказывается справедливым уравнение

 В этом уравнении содержится две неизвестных функции − зависимости от времени заряда q(t) и силы тока I(t) , поэтому его решить нельзя. Однако сила тока является производной от заряда конденсатора q / (t) = I(t) , поэтому производная от силы тока является второй производной от заряда

 С учетом этого соотношения, перепишем уравнение (1) в виде

 Поразительно, но это уравнение полностью совпадает с хорошо изученным нами уравнением гармонических колебаний (вторая производная от неизвестной функции пропорциональна самой этой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности x // = −ω o 2 x )! Следовательно, решением этого уравнения будет гармоническая функция

с круговой частотой

 Эта формула определяет собственную частоту колебательного контура . Соответственно период колебаний заряда конденсатора (и силы тока в контуре) равен

 Полученное выражение для периода колебаний называется формулой Дж. Томпсона .
 Как обычно, для определения произвольных параметров A , φ в общем решении (4) необходимо задать начальные условия − заряд и силу тока в начальный момент времени. В частности, для рассмотренного примера цепи рис. 670, начальные условия имеют вид: при t = 0 , q = q o , I = 0 , поэтому зависимость заряда конденсатора от времени будет описываться функцией

а сила тока изменяется со временем по закону

 Приведенное рассмотрение колебательного контура является приближенным − любой реальный контур обладает активным сопротивлением (соединительных проводов и обмотки катушки).

рис. 671
 Поэтому в уравнении (1) следует учесть падение напряжения на этом активном сопротивлении, поэтому это уравнение приобретет вид

который с учетом связи между зарядом и силой тока, преобразуется к форме

 Это уравнение нам также знакомо – это уравнение затухающих колебаний

причем коэффициент затухания, как и следовало ожидать, пропорционален активному сопротивлению цепи β = R/L .
 Процессы, происходящие в колебательном контуре, могут быть также описаны и с помощью закона сохранения энергии. Если пренебречь активным сопротивлением контура, то сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки остается постоянной, что выражается уравнением

которое также является уравнением гармонических колебаний с частотой, определяемой формулой (5). По свое форме это уравнение также совпадает уравнениями, следующими из закона сохранения энергии при механических колебаниях. Так как, уравнения, описывающие колебания электрического заряда конденсатора, аналогичны уравнениям, описывающим механические колебания, то можно провести аналогию между процессами, протекающими в колебательном контуре, и процессами в любой механической системе. На рис. 672 такая аналогия проведена для колебаний математического маятника. В этом случае аналогами являются «заряд конденсатора q(t) − угол отклонения маятника φ(t) » и «сила тока I(t) = q / (t) − скорость движения маятника V(t) ».


рис. 672
 Пользуясь этой аналогией, качественно опишем процесс колебаний заряда и электрического тока в контуре. В начальный момент времени конденсатор заряжен, сила электрического тока равна нулю, вся энергия заключена в энергии электрического поля конденсатора (что аналогично максимальному отклонения маятника от положения равновесия). Затем конденсатор начинает разряжаться, сила тока возрастает, при этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует возрастанию тока; энергия конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля катушки (аналогия – маятник движется к нижней точки с возрастанием скорости движения). Когда заряд на конденсаторе становится равным нулю, сила тока достигает максимального значения, при этом вся энергия превращается в энергию магнитного поля (маятник достиг нижней точки, скорость его максимальна). Затем магнитное поле начинает убывать, при этом ЭДС самоиндукции поддерживает ток в прежнем направлении, при этом конденсатор начинает заряжаться, причем знаки зарядов на обкладках конденсатора противоположны начальному распределению (аналог − маятник движется к противоположному начальному максимальному отклонению). Затем ток в цепи прекращается, при этом заряд конденсатора становится опять максимальным, но противоположным по знаку (маятник достиг максимального отклонения), после чего процесс повторятся в противоположном направлении.

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания .

Электромагнитными колебаниями называют периодические взаимосвязанные изменения заряда, силы тока и напряжения.

Свободными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

Вынужденными называются колебания в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы

Свободные электромагнитные колебания – это периодически повторяющиеся изменения электромагнитных величин (q – электрический заряд, I – сила тока, U – разность потенциалов), происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур или колебательный контур .

Колебательный контур – это система, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C , катушки индуктивности L и проводника с сопротивлением R

Рассмотрим закрытый колебательный контур, состоящий из индуктивности L и емкости С.

Чтобы возбудить колебания в этом контуре, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд от источника ε . Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения. После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L . При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер

Свободные электромагнитные колебания можно наблюдать на экране осциллографа.

Как видно из графика колебаний, полученного на осцилографе, свободные электромагнитные колебания являются затухающими , т.е.их амплитуда уменьшается с течением времени. Это происходит потому, что часть электрической энергии на активном сопротивлении R превращается во внутреннюю энерги. проводника (проводник нагревается при прохождении по нему электрического тока).

Рассмотрим, как происходят колебания в колебательном контуре и какие изменения энергии при этом происходят. Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0).

Если зарядить конденсатор до напряжения U 0 то в начальный момент времени t 1 =0 на обкладках конденсатора установятся амплитудные значения напряжения U 0 и заряда q 0 = CU 0 .

Полная энергия W системы равна энергии электрического поля W эл:

Если цепь замыкают, то начинает течь ток. В контуре возникает э.д.с. самоиндукции

Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается не мгновенно, а постепенно (так как, согламно правилу Ленца, возникающий индукционный ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван. Т.е. магнитное поле индукционного тока не дает мгновенно увеличиться магнитному потоку тока в контуре). При этом ток увеличивается постепенно, достигая своего максимального значения I 0 в момент времени t 2 =T/4, а заряд на конденсаторе становится равным нулю.

По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля. Полная энергия контура после разрядки конденсатора равна энергии магнитного поля W м:

В следующий момент времени ток течет в том же направлении, уменьшаясь до нуля, что вызывает перезарядку конденсатора. Ток не прекращается мгновенно после разрядки конденсатора вследствии самоиндукции (теперь магнитное поле индукционного тока не дает магнитному потоку тока в контуре мгновенно уменьшиться). В момент времени t 3 =T/2 заряд конденсатора опять максимален и равен первоначальному заряду q = q 0 , напряжение тоже равно первоначальному U = U 0 , а ток в контуре равен нулю I = 0.

Затем конденсатор снова разряжается, ток через индуктивность течёт в обратном направлении. Через промежуток времени Т система приходит в исходное состояние. Завершается полное колебание, процесс повторяется.

График изменения заряда и силы тока при свободных электромагнитных колебаниях в контуре показывает, что колебания силы тока отстают от колебаний заряда на π/2.

В любой момент времени полная энергия:

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается постоянной.

Свободные электрические колебания аналогичны механическим колебаниям. На рисунке приведены графики изменения заряда q (t ) конденсатора и смещения x (t ) груза от положения равновесия, а также графики тока I (t ) и скорости груза υ(t ) за один период колебаний.

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими , то есть происходят по закону

q (t ) = q 0 cos(ωt + φ 0)

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний и период колебаний - формула Томпсона

Амплитуда q 0 и начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями , то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.

Для колебаний заряда, напряжения и силы тока получаются формулы:

Для конденсатора:

q (t ) = q 0 cosω 0 t

U (t ) = U 0 cosω 0 t

Для катушки индуктивности:

i (t ) = I 0 cos(ω 0 t + π/2)

U (t ) = U 0 cos(ω 0 t + π)

Вспомомним основные характеристики колебательного движения :

q 0, U 0 , I 0 - амплитуда – модуль наибольшего значения колеблющейся величины

Т - период – минимальный промежуток времени через который процесс полностью повторяется

ν - Частота – число колебаний в единицу времени

ω - Циклическая частота – число колебаний за 2п секунд

φ - фаза колебаний - величина стоящая под знаком косинуса (синуса) и характеризующая состояние системы в любой момент времени.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.
СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Электромагнитные колебания - взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей.

Электромагнитные колебания появляются в различных электрических цепях. При этом колеблются величина заряда, напряжение, сила тока, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля и другие электродинамические величины.

Свободные электромагнитные колебания возникают в электромагнитной системе после выведения ее из состояния равновесия, например, сообщением конденсатору заряда или изменением тока в участке цепи.

Это затухающие колебания, так как сообщенная системе энергия расходуется на нагревание и другие процессы.

Вынужденные электромагнитные колебания - незатухающие колебания в цепи, вызванные внешней периодически изменяющейся синусоидальной ЭДС.

Электромагнитные колебания описываются теми же законами, что и механические, хотя физическая природа этих колебаний совершенно различна.

Электрические колебания - частный случай электромагнитных, когда рассматривают колебания только электрических величин. В этом случае говорят о переменных токе, напряжении, мощности и т.д.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР

Колебательный контур - электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R.

Состояние устойчивого равновесия колебательного контура характеризуется минимальной энергией электрического поля (конденсатор не заряжен) и магнитного поля (ток через катушку отсутствует).

Величины, выражающие свойства самой системы (параметры системы): L и m, 1/C и k

величины, характеризующие состояние системы:

величины, выражающие скорость изменения состояния системы: u = x"(t) и i = q"(t) .

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Можно показать, что уравнение свободных колебаний для зарядаq = q(t) конденсатора в контуре имеет вид

где q" - вторая производная заряда по времени. Величина

является циклической частотой. Такими же уравнениями описываются колебания тока, напряжения и других электрических и магнитных величин.

Одним из решений уравнения (1) является гармоническая функция

Период колебаний в контуре дается формулой (Томсона):

Величина φ = ώt + φ 0 , стоящая под знаком синуса или косинуса, является фазой колебания.

Фаза определяет состояние колеблющейся системы в любой момент времени t.

Ток в цепи равен производной заряда по времени, его можно выразить

Чтобы нагляднее выразить сдвиг фаз, перейдем от косинуса к синусу

ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

1. Гармоническая ЭДС возникает, например, в рамке, которая вращается с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией В. Магнитный поток Ф , пронизывающий рамку с площадью S ,

где- угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции.

По закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС индукции равна

где - скорость изменения потока магнитной индукции.

Гармонически изменяющийся магнитный поток вызывает синусоидальную ЭДС индукции

где - амплитудное значение ЭДС индукции.

2. Если к контуру подключить источник внешней гармонической ЭДС

то в нем возникнут вынужденные колебания, происходящие с циклической частотой ώ, совпадающей с частотой источника.

При этом вынужденные колебания совершают заряд q, разность потенциалов u , сила тока i и другие физические величины. Это незатухающие колебания, так как к контуру подводится энергия от источника, которая компенсирует потери. Гармонически изменяющиеся в цепи ток, напряжение и другие величины называют переменными. Они, очевидно, изменяются по величине и направлению. Токи и напряжения, изменяющиеся только по величине, называют пульсирующими.

В промышленных цепях переменного тока России принята частота 50 Гц.

Для подсчета количества теплоты Q, выделяющейся при прохождении переменного тока по проводнику с активным сопротивлением R, нельзя использовать максимальное значение мощности, так как оно достигается только в отдельные моменты времени. Необходимо использовать среднюю за период мощность - отношение суммарной энергии W, поступающей в цепь за период, к величине периода:

Поэтому количество теплоты, выделится за время Т:

Действующее значение I силы переменного тока равно силе такого постоянного тока, который за время, равное периоду T, выделяет такое же количество теплоты, что и переменный ток:

Отсюда действующее значение тока

Аналогично действующее значение напряжения

ТРАНСФОРМАТОР

Трансформатор - устройство, увеличивающее или уменьшающее напряжение в несколько раз практически без потерь энергии.

Трансформатор состоит из стального сердечника, собранного из отдельных пластин, на котором крепятся две катушки с проволочными обмотками. Первичная обмотка подключается к источнику переменного напряжения, а к вторичной присоединяют устройства, потребляющие электроэнергию.

Величину

называют коэффициентом трансформации. Для понижающего трансформатора К > 1, для повышающего К < 1.

Пример. Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени в соответствии с уравнением . Найдите период и частоту колебаний в контуре,циклическую частоту, амплитуду колебаний заряда и амплитуду колебаний силы тока. Запишите уравнение i = i(t) , выражающее зависимость силы тока от времени.

Из уравнения следует, что . Период определим по формуле циклической частоты

Частота колебаний

Зависимость силы тока от времени имеет вид:

Амплитуда силы тока.

Ответ: заряд совершает колебания с периодом 0,02 с и частотой 50 Гц, которой соответствует циклическая частота 100 рад/с, амплитуда колебаний силы тока равна 510 3 А, ток изменяется по закону:

i =-5000 sin100t

Задачи и тесты по теме "Тема 10. "Электромагнитные колебания и волны"."

• Поперечные и продольные волны. Длина волны - Механические колебания и волны. Звук 9 класс

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

§1 Колебательный контур.

Собственные колебания в колебательном контуре.

Формула Томсона.

Затухающие и вынужденные колебания в к.к.

1. Свободные колебания в к.к.

Колебательным контуром (к.к.) называется цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности. При определенных условиях в к.к. могут возникнуть электромагнитные колебания заряда, тока, напряжения и энергии.

Рассмотрим цепь, показанную на рис.2. Если поставить ключ в положение 1, то будет происходить заряд конденсатора и на его обкладках появится заряд Q и напряжение U C . Если затем перевести ключ в положение 2, то конденсатор начнет разряжаться, в цепи потечет ток, при этом энергия электрического поля, заключенного между обкладками конденсатора, будет превращаться в энергию магнитного поля, сосредоточенную в катушке индуктивности L . Нали-чие катушки индуктивности приводит к тому, что ток в цепи увеличивается не мгновенно, а постепенно из-за явления самоиндук-ции. По мере разряда конденсатора заряд на его обкладках будет уменьшаться, ток в цепи увеличиваться. Максимального значения контурный ток достигнет при заряде на обкладках равном нули. С этого момента контурный ток начнет уменьшаться, но, благодаря явлению самоиндукции, он будет поддерживаться магнитным полем катушки индуктивности, т.е. при полном разряде конденсатора энергия магнитного поля, запасенного в катушке индуктивности, начнет переходить в энергию электрического поля. Из-за контурного тока начнется перезаряд конденсатора и на его обкладках начнет накапливаться заряд противоположный первоначальному. Перезаряд конденсатора будет происходить до тех пор, пока вся энергия магнитного поля катушки индуктивности не перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Затем процесс повторится в обратном направлении, и, таким образом, в цепи возникнут электромагнитные колебания.

Запишем 2 -й закон Кирхгофа для рассматриваемого к.к,

Дифференциальное уравнение к.к.

Мы получили дифференциальное уравнение колебаний заряда в к.к. Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению, описывающему движение тела под действием квазиупругой силы. Следовательно, аналогично будет записываться и решение этого уравнения

Уравнение колебаний заряда в к.к.

Уравнение колебаний напряжения на обкладках конденсатора в к.к.

Уравнение колебаний тока в к.к.

1. Затухающие колебания в к.к.

Рассмотрим к.к., содержащий емкость, индуктивность и сопротивление. 2-й закон Кирхгофа в этом случае запишется в виде

- коэффициент затухания,

Собственная циклическая частота.

- - дифференциальное уравнение затухающих колебаний в к.к.

Уравнение затухающих колебаний заряда в к.к.

Закон изменения амплитуды заряда при затухающих колебаниях в к.к.;

Период затухающих колебаний.

Декремент затухания.

- логарифмический декремент затухания.

Добротность контура.

Если затухание слабое, тогда Т ≈Т 0

Исследуем изменение напряжения на обкладках конденсатора.

Изменение тока отличается по фазе на φ от напряжения.

при - возможны затухающие колебания,

при - критическое положение

при , т.е. R > R К - колебания не возникают (апериодический разряд конденсатора).

Рассмотрим следующий колебательный контур. Будем считать, что его сопротивление R настолько мало, что им можно пренебречь.

Полная электромагнитная энергия колебательного контура в любой момент времени будет равняться сумме энергии конденсатора и энергии магнитного поля тока. Для её вычисления будет использоваться следующая формула:

W = L*i^2/2 + q^2/(2*C).

Полная электромагнитная энергия не будет меняться с течение времени, так как потерь энергии на сопротивлении нет. Хотя её составляющие будут меняться, но в сумме всегда будут давать одинаковое число. Это обеспечивается законом сохранения энергии.

Из этого можно получить уравнения описывающие свободные колебания в электрическом колебательном контуре. Уравнение будет иметь следующий вид:

q"’ = -(1/(L*C))*q.

Такое же уравнение, с точностью до обозначений, получается при описании механических колебаний. Учитывая аналогию между этими типами колебаний, мы можем записать формулу описывающую электромагнитные колебания.

Частота и период электромагнитных колебаний

Но сначала разберемся с частотой и периодом электромагнитных колебаний. Значение частоты собственных колебаний, можно опять же получить из аналогии с механическими колебаниями. Коэффициент k/m будет равняться квадрату частоты собственных колебаний.

Следовательно, в нашем случае квадрат частоты свободных колебаний будет равен 1/(L*C)

ω0 = 1/√(L*C).

Отсюда период свободных колебаний:

T = 2*pi/ω0 = 2*pi*√(L*C).

Данная формула получила название формулы Томпсона . Из нее следует, что период колебаний увеличивается при увеличении емкости конденсатора или индуктивности катушки. Эти выводы логичны, так как с увеличением емкости, время потраченное на заряд конденсатора увеличивается, а с увеличением индуктивности – сила тока в цепи будет возрастать медленнее, из-за самоиндукции.

Уравнение колебаний заряда конденсатора описывается следующей формулой:

q = qm*cos(ω0*t), где qm – амплитуда колебаний заряда конденсатора.

Сила тока в цепи колебательного контура, тоже будет совершать гармонические колебания:

I = q’= Im*cos(ω0*t+pi/2).

Здесь Im – амплитуда колебаний силы тока. Заметим, что между колебаниями заряда и силы тока существует разность ваз, равная pi/2.
На рисунке ниже представлены графики этих колебаний.

Опять же по аналогии с механическими колебаниями, где колебания скорости тела опережают на pi/2 колебания координаты этого тела.
В реальных же условиях пренебречь сопротивлением колебательного контура нельзя, и поэтому колебания будут затухающими.

При очень большом сопротивлении R, колебания могут вообще не начаться. В таком случае энергия конденсатора выделиться в виде тепла на сопротивлении.