Дано распределение случайной величины х. Краткая теория о ДСВ

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины .

Случайной называют величину , принимающую в результате испытаний те или иные возможные значения, наперед неизвестные и зависящие от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X , Y , Z и т. д. или заглавными буквами латинского алфавита с правым нижним индексом , а значения, которые могут принимать случайные величины - соответствующими малыми буквами латинского алфавита x , y , z и т. д.

Понятие случайной величины тесно связано с понятием случайного события. Связь со случайным событием заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения есть случайное событие, характеризуемое вероятностью .

На практике встречаются два основных типа случайных величин:

1. Дискретные случайные величины;

2. Непрерывные случайные величины.

Случайной величиной называется числовая функция от случайных событий.

Например, случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента.

Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.

Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность вероятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач достаточно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный вопрос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение , устанавливающее связь между возможными значениями случайной величиныи соответствующими им вероятностями .

Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы :

			…	…
			…	…

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице, т. е. .

Закон распределения можно изобразить графически : по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности этих значений; полученные точки соединяют отрезками. Построенная ломаная называется многоугольником распределения .

Пример . Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или расходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при каждом следующем выстреле уменьшается на 0,1. Составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником.

Решение. Так как охотник, имея 4 патрона, может сделать четыре выстрела, то случайная величина X - число патронов, израсходованных охотником, может принимать значения 1, 2, 3, 4. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:

- “попадание при i - ом выстреле”, ;

- “промах при i - ом выстреле”, причем события и - попарно независимы.

Согласно условию задачи имеем:

,

По теореме умножения для независимых событий и теореме сложения для несовместных событий, находим:

(охотник попал в цель с первого выстрела);

(охотник попал в цель со второго выстрела);

(охотник попал в цель с третьего выстрела);

(охотник попал в цель с четвертого выстрела либо промахнулся все четыре раза).

Проверка: - верно.

Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет вид:

	0,7	0,18	0,06	0,06

Пример. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует регулировки - 0,9, второй - 0,8, третий - 0,7. Составить закон распределения числа станков, которые в течение часа потребуют регулировки.

Решение. Случайная величина X - число станков, которые в течение часа потребуют регулировки, может принимать значения 0,1, 2, 3. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:

- “i - ый станок в течение часа потребует регулировки”, ;

- “i - ый станок в течение часа не потребует регулировки”, .

По условию задачи имеем:

, .

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач о дискретных случайных величинах . Это довольно обширный раздел: изучаются разные законы распределения (биномиальный, геометрический, гипергеометрический, Пуассона и другие), свойства и числовые характеристики, для каждого ряда распределения можно строить графические представления: полигон (многоугольник) вероятностей, функцию распределения.

Ниже вы найдете примеры решений о дискретных случайных величинах, в которых требуется применить знания из предыдущих разделов теории вероятностей для составления закона распределения, а затем вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения, дать ответы на вопросы о ДСВ и т.п.

Примеры для популярных законов распределения вероятностей:

Калькуляторы на характеристики ДСВ

• Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ .

Решенные задачи о ДСВ

Распределения, близкие к геометрическому

Задача 1. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

Задача 2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.

Задача 3. Стрелок, имея 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $\xi$ - число оставшихся патронов. Составить ряд распределения случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение с.в., построить функцию распределения с.в., найти $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Задача 4. В ящике содержится 7 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают детали последовательно до появления стандартной, не возвращая их обратно. $\xi$ - число извлеченных бракованных деталей.
Составить закон распределения дискретной случайной величины $\xi$, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, начертить многоугольник распределения и график функции распределения.

Задачи с независимыми событиями

Задача 5. На переэкзаменовку по теории вероятностей явились 3 студента. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8, второй - 0,7, третий - 0,9. Найдите ряд распределения случайной величины $\xi$ числа студентов, сдавших экзамен, постройте график функции распределения, найдите $М(\xi), D(\xi)$.

Задача 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и С.К.О. этой случайной величины. Построить график функции распределения.

Задача 7. По цели производится 4 выстрела. Вероятность попадания при этом растет так: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Найти закон распределения случайной величины $X$ - числа попаданий. Найти вероятность того, что $X \ge 1$.

Задача 8. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина $X$- число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины $X$, найти ее математическое ожидание.

Другие задачи и законы распределения ДСВ

Задача 9. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания для первого баскетболиста равна 0,6, для второго – 0,7. Пусть $X$ - разность между числом удачных бросков первого и второго баскетболистов. Найти ряд распределения, моду и функцию распределения случайной величины $X$. Построить многоугольник распределения и график функции распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Найти вероятность события $(-2 \lt X \le 1)$.

Задача 10. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт – случайная величина $X$, заданная так:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
А) убедитесь, что задан ряд распределения,
Б) найдите функцию распределения случайной величины $X$,
В) если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы?
Г) найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины $X$.

Задача 11. Бросают 4 игральные кости. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Задача 12. Двое поочередно бросают монету до первого появления герба. Игрок, у которого выпал герб, получает от другого игрока 1 рубль. Найти математическое ожидание выигрыша каждого игрока.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Случайные величины» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Случайные величины

Дискретные и непрерывные случайные величины

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины . Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания из множества возможных своих значений принимает только одно, причём заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными . Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг о друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z и т.д. Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими малыми буквами.

Запись
означает «вероятность того, что случайная величинаХ примет значение, равное 5, равна 0.28».

Пример 1 . Один раз бросают игральный кубик. При этом могут выпасть цифры от 1 до 6, обозначающие число очков. Обозначим случайную величину Х ={число выпавших очков}. Эта случайная величина в результате испытания может принять только одно из шести значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следовательно, случайная величина Х есть ДСВ.

Пример 2 . При бросании камня он пролетает некоторое расстояние. Обозначим случайную величину X ={расстояние полёта камня}. Эта случайная величина может принять любое, но только одно, значение из некоторого промежутка. Следовательно, случайная величина Х есть НСВ.

Закон распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина характеризуется значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины .

Если известны все возможные значения
случайной величиныХ и вероятности
появления этих значений, то считают, что закон распределения ДСВХ известен и он может быть записан в виде таблицы:

Закон распределения ДСВ можно изобразить графически, если в прямоугольной системе координат изобразить точки
,
, …,
и соединить их отрезками прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Пример 3 . В зерне, предназначенном для очистки, содержится 10% сорняков. Наугад отобраны 4 зерна. Обозначим случайную величину X ={число сорняков среди четырёх отобранных}. Построить закон распределения ДСВ Х и многоугольник распределения.

Решение . По условию примера . Тогда:

Запишем закон распределения ДСВ Х в виде таблицы и построим многоугольник распределения:

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Наиболее важные свойства дискретной случайной величины описываются её характеристиками. Одной из таких характеристик является математическое ожидание случайной величины.

Пусть известен закон распределения ДСВ Х :

Математическим ожиданием ДСВ Х называется сумма произведений каждого значения этой величины на соответствующую вероятность:
.

Математическое ожидание случайной величины приближённо равно среднему арифметическому всех её значений. Поэтому в практических задачах часто за математическое ожидание принимают среднее значение этой случайной величины.

Пример 8 . Стрелок выбивает 4, 8, 9 и 10 очков с вероятностями 0.1, 0.45, 0.3 и 0.15. Найти математическое ожидание числа очков при одном выстреле.

Решение . Обозначим случайную величину X ={число выбитых очков}. Тогда . Таким образом, ожидаемое среднее значение числа выбитых очков при одном выстреле равно 8.2, а при 10 выстрелах – 82.

Основными свойствами математического ожидания являются:

.

.

, где
,
.

.

, где Х и Y – независимые случайные величины.

Разность
называетсяотклонением случайной величины Х от её математического ожидания. Эта разность является случайной величиной и её математическое ожидание равно нулю, т.е.
.

Дисперсия дискретной случайной величины

Для характеристики случайной величины, кроме математического ожидания, используется и дисперсия , которая даёт возможность оценить рассеяние (разброс) значений случайной величины около её математического ожидания. При сравнении двух однородных случайных величин с равными математическими ожиданиями «лучшей» считается та величина, которая имеет меньший разброс, т.е. меньшую дисперсию.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .

В практических задачах для вычисления дисперсии используют равносильную формулу .

Основными свойствами дисперсии являются:

.

Определение 1

Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.

Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.

Описать случайную величину можно с используя закона распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:

Рисунок 1.

где $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины .

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходится и его сумма будет равна $1$.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения .

Рисунок 2.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Действия над дискретными вероятностями

При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу , сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:

Определение 3

Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline{1,\ n}.$

Определение 4

Две случайные величины $x$ и $y$ называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.

Определение 5

Суммой двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=X+Y,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_i+y_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Определение 6

Умножением двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=XY,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_iy_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Примем во внимание, что некоторые произведения $x_{i\ \ \ \ \ }y_j$ могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.

Например, если $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $то вероятность $x_2y_3$ (или тоже самое $x_5y_7$) будет равна $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$

Сказанное выше касается также и суммы. Если $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то вероятность $x_1+\ y_2$ (или тоже самое $x_4+\ y_6$) будет равняться $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Пусnm случайные величины $X$ и $Y$ заданы законами распределения:

Рисунок 3.

Где $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тогда закон распределения сумы $X+Y$ будет иметь вид

Рисунок 4.

А закон распределения произведения $XY$ будет иметь вид

Рисунок 5.

Фунция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина $Х$ принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки $х$.